Na matemática, especificamente na topologia algébrica, a classe de Euler é uma classe característica de fibrados vetoriais reais e orientados. Como outras classes características, ela mede o quão "torcido" o fibrado vetorial é. No caso do fibrado tangente de uma variedade suave, ela generaliza a noção clássica de característica de Euler. Recebe o nome de Leonhard Euler por causa disso.

Ao longo deste artigo, é um fibrado vetorial real orientado de posto sobre um espaço base .

Definição formal A classe de Euler é um elemento do grupo de coomologia com coeficientes inteiros

construída da seguinte forma. Uma orientação de equivale a uma escolha contínua de gerador da coomologia

de cada fibra relativa ao complemento do zero. Pelo isomorfismo de Thom, isto induz uma classe de orientação

na coomologia de relativa ao complemento da seção nula . As inclusões

onde se inclui em como a seção nula, induzem aplicações

A classe de Euler é a imagem de sob a composição dessas aplicações.

Propriedades A classe de Euler satisfaz estas propriedades, que são axiomas de uma classe característica:

Functorialidade: Se é outro fibrado vetorial real orientado e é contínua e coberta por uma aplicação que preserva a orientação , então . Em particular, .Milnor & Stasheff 74, Propriedade 9.2 Fórmula da soma de Whitney: Se é outro fibrado vetorial real orientado, então a classe de Euler de sua soma direta é dada por Milnor & Stasheff 74, Propriedade 9.6 Normalização: Se possui uma seção em nenhum lugar nula (que não se anula em nenhum ponto), então .Milnor & Stasheff 74, Propriedade 9.7 Orientação: Se é com a orientação oposta, então .Milnor & Stasheff 74, Propriedade 9.3

Note que a "Normalização" é uma característica distintiva da classe de Euler. A classe de Euler obstrui a existência de uma seção não nula no sentido de que se então não possui nenhuma seção que não se anule.

Também, diferentemente de outras classes características, ela está concentrada em um grau que depende do posto do fibrado: . Em contraste, as classes de Stiefel-Whitney vivem em independentemente do posto de . Isso reflete o fato de que a classe de Euler é instável, como discutido abaixo.

Lugar de anulamento de uma seção genérica A classe de Euler corresponde ao lugar geométrico de anulamento de uma seção de da seguinte maneira. Suponha que seja uma variedade suave orientada de dimensão . Seja uma seção suave que intercepta transversalmente a seção nula. Seja o lugar dos zeros de . Então é uma subvariedade de codimensão de que representa uma classe de homologia e é o dual de Poincaré de .

Auto-interseção Por exemplo, se for uma subvariedade compacta, então a classe de Euler do fibrado normal de em é naturalmente identificada com a auto-interseção de em .

Relações com outros invariantes No caso especial em que o fibrado em questão é o fibrado tangente de uma variedade compacta, orientada e de dimensão , a classe de Euler é um elemento da coomologia de grau máximo da variedade, que é naturalmente identificada com os inteiros ao se avaliar classes de coomologia na classe de homologia fundamental. Sob essa identificação, a classe de Euler do fibrado tangente é igual à característica de Euler da variedade. Na linguagem dos números característicos, a característica de Euler é o número característico correspondente à classe de Euler.

Assim, a classe de Euler é uma generalização da característica de Euler para fibrados vetoriais diferentes de fibrados tangentes. Por sua vez, a classe de Euler é o arquétipo para outras classes características de fibrados vetoriais, no sentido de que cada classe característica "de topo" é igual à classe de Euler, como segue.

Tomar o quociente por 2 induz uma aplicação

A imagem da classe de Euler sob esta aplicação é a classe de Stiefel-Whitney de topo .Milnor & Stasheff 74, Propriedade 9.5 Pode-se ver essa classe de Stiefel-Whitney como "a classe de Euler, ignorando a orientação".

Qualquer fibrado vetorial complexo de posto complexo pode ser considerado como um fibrado vetorial real orientado de posto real . A classe de Euler de é dada pela classe de Chern de dimensão mais alta .

O quadrado é a classe de Pontryagin de topo A classe de Pontryagin é definida como a classe de Chern da complexificação de : .

A complexificação é isomorfa, como um fibrado orientado, a . Comparando as classes de Euler, vemos que

Se o posto de for ímpar, então .Milnor & Stasheff 74, Propriedade 9.3 Se o posto de for par, então , onde é a classe de Pontryagin de dimensão máxima de .Milnor & Stasheff 74, Corolário 15.8

Instabilidade Uma classe característica é estável se , onde é um fibrado trivial de posto um. Diferentemente da maioria das outras classes características, a classe de Euler é instável. De fato, .

A classe de Euler é representada por uma classe de coomologia no espaço classificatório BSO(k) . A instabilidade da classe de Euler mostra que ela não é o pullback de uma classe em sob a inclusão .

Isso pode ser visto intuitivamente pelo fato de a classe de Euler ser uma classe cujo grau depende da dimensão do fibrado (ou da variedade, se for o fibrado tangente): a classe de Euler é um elemento de , onde é a dimensão do fibrado, enquanto as outras classes têm uma dimensão fixa (por exemplo, a primeira classe de Stiefel-Whitney é um elemento de ).

O fato de a classe de Euler ser instável não deve ser visto como um "defeito": na verdade, significa que a classe de Euler "detecta fenômenos instáveis". Por exemplo, o fibrado tangente de uma esfera de dimensão par é estavelmente trivial, mas não trivial (a inclusão usual da esfera tem um fibrado normal trivial, portanto, o fibrado tangente da esfera mais um fibrado de linha trivial equivale ao fibrado tangente do espaço euclidiano, restrito a , que é trivial), assim, todas as outras classes características se anulam para a esfera, mas a classe de Euler não se anula para esferas pares, fornecendo um invariante não trivial.

Exemplos

Esferas A característica de Euler da n-esfera é:

Assim, não existe nenhuma seção que não se anule no fibrado tangente de esferas pares (isso é conhecido como o Teorema da bola cabeluda). Em particular, o fibrado tangente de uma esfera par é não trivial — isto é, não é uma variedade paralelizável e não pode admitir uma estrutura de grupo de Lie.

Para esferas ímpares, , uma seção em nenhum lugar nula é dada por

o que mostra que a classe de Euler se anula; isto é apenas cópias da seção usual sobre o círculo.

Como a classe de Euler para uma esfera par corresponde a , podemos usar o fato de que a classe de Euler de uma soma de Whitney de dois fibrados é apenas o produto cup das classes de Euler dos dois fibrados para atestar que não há outros subfibrados do fibrado tangente além do próprio fibrado tangente e o fibrado nulo, para qualquer esfera de dimensão par.

Dado que o fibrado tangente da esfera é estavelmente trivial mas não trivial, todas as outras classes características se anulam nele, e a classe de Euler é a única classe de coomologia ordinária que detecta a não trivialidade do fibrado tangente de esferas: para provar resultados adicionais, deve-se usar operações de coomologia secundárias ou a teoria K.

Círculo O cilindro é um fibrado de linha sobre o círculo, através da projeção natural . Ele é um fibrado de linha trivial, então ele possui uma seção que não se anula em nenhum ponto, e assim sua classe de Euler é 0. Ele também é isomorfo ao fibrado tangente do círculo; o fato de sua classe de Euler ser 0 corresponde ao fato de que a característica de Euler do círculo é 0.

Ver também Polinômio de Vandermonde Isomorfismo de Thom Teorema generalizado de Gauss-Bonnet

Outras classes Classe de Chern Classe de Pontryagin Classe de Stiefel-Whitney

Referências

Bibliografia

Categoria:Classes características Categoria:Fibrados vetoriais