Na teoria de corpos, uma extensão simples é uma extensão de corpos gerada pela adjunção de um único elemento, chamado de elemento primitivo. Extensões simples são bem compreendidas e podem ser completamente classificadas.

O teorema do elemento primitivo fornece uma caracterização das extensões simples finitas.

Definição Uma extensão de corpos é chamada de extensão simples se existe um elemento em com

Isso significa que todo elemento de pode ser expresso como uma fração racional em , com coeficientes em ; ou seja, é produzido a partir de e de elementos de pelas operações de corpo +, −, •, / . Equivalentemente, é o menor corpo que contém tanto quanto .

Existem dois tipos diferentes de extensões simples (ver Estrutura de extensões simples abaixo):

O elemento pode ser transcendente sobre , o que significa que não é uma raiz de nenhum polinômio com coeficientes em . Neste caso, é isomorfo ao corpo de funções racionais Caso contrário, é algébrico sobre ; isto é, é uma raiz de um polinômio sobre . O polinômio mônico de menor grau , com como raiz, é chamado de polinômio mínimo de . O seu grau é igual ao grau da extensão de corpos, isto é, à dimensão de visto como um espaço vetorial sobre . Neste caso, todo elemento de pode ser expresso de forma única como um polinômio em de grau menor que , e é isomorfo ao anel quociente

Em ambos os casos, o elemento é chamado de elemento gerador ou elemento primitivo para a extensão; diz-se também que é gerado sobre por .

Por exemplo, todo corpo finito é uma extensão simples do corpo primo de mesma característica. Mais precisamente, se é um número primo e , o corpo de elementos é uma extensão simples de grau de . De fato, é gerado como um corpo por qualquer elemento que seja raiz de um polinômio irredutível de grau em .

No entanto, no caso de corpos finitos, o termo elemento primitivo é geralmente reservado para uma noção mais forte, um elemento que gera como um grupo multiplicativo, de modo que todo elemento não nulo de seja uma potência de , isto é, seja produzido a partir de usando apenas a operação de grupo • . Para distinguir esses significados, usa-se o termo "gerador" ou elemento primitivo do corpo para o significado mais fraco, reservando "elemento primitivo" ou elemento primitivo do grupo para o significado mais forte. (Ver Corpo finito#Estrutura multiplicativa e Elemento primitivo (corpo finito)).

Estrutura de extensões simples Seja uma extensão simples de gerada por . Para o anel de polinômios , uma de suas principais propriedades é o único homomorfismo de anéis

Dois casos podem ocorrer:

Se é injetivo, ele pode ser estendido de forma injetiva para o corpo de frações de . Como é gerado por , isto implica que é um isomorfismo de sobre . Isto implica que todo elemento de é igual a uma fração irredutível de polinômios em , e que duas dessas frações irredutíveis são iguais se e somente se for possível passar de uma para a outra multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo elemento não nulo de . Se não é injetivo, seja um gerador de seu núcleo, que é, portanto, o polinômio mínimo de . A imagem de é um subanel de , e assim um domínio de integridade. Isto implica que é um polinômio irredutível, e consequentemente que o anel quociente é um corpo. Como é gerado por , é sobrejetivo, e induz um isomorfismo de sobre . Isto implica que todo elemento de é igual a um único polinômio em de grau menor que o grau . Ou seja, temos uma -base de dada por .

Exemplos

gerada por . gerada por . Qualquer corpo de números algébricos (isto é, uma extensão finita de ) é uma extensão simples para algum . Por exemplo, é gerada por . , um corpo de funções racionais, é gerado pela variável formal .

Ver também

Matriz companheira para a aplicação de multiplicação em uma extensão de corpos simples

Bibliografia

Referências