right|thumb|500px|Função de Dedekind no semiplano superior

Na matemática, a função eta de Dedekind, nomeada em homenagem a Richard Dedekind, é uma forma modular de peso e é uma função definida no semiplano superior dos números complexos, onde a parte imaginária é positiva. Ela também ocorre na teoria das cordas bosônicas.

Definição

Para qualquer número complexo com , seja ; então a função eta é definida por:

Elevar a equação eta à 24ª potência e multiplicar por resulta em:

onde é o discriminante modular. A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como no Reticulado de Leech de 24 dimensões.

A função eta é holomorfa no semiplano superior, mas não pode ser continuada analiticamente além dele.

thumb|right|Módulo da função phi de Euler no disco unitário, colorido de forma que preto = 0, vermelho = 4 thumb|right|A parte real do discriminante modular como uma função de .

A função eta satisfaz as equações funcionais

Na segunda equação, o ramo da raiz quadrada é escolhido de modo que quando .

De forma mais geral, suponha que sejam inteiros com , de modo que

seja uma transformação pertencente ao grupo modular. Podemos assumir que ou , ou e . Então

onde

Aqui, é a Soma de Dedekind

Devido a estas equações funcionais, a função eta é uma forma modular de peso e nível 1 para um certo caractere de ordem 24 da cobertura dupla metaplética do grupo modular, e pode ser usada para definir outras formas modulares. Em particular, o discriminante modular da função elíptica de Weierstrass com

pode ser definido como

e é uma forma modular de peso 12. Alguns autores omitem o fator , de modo que a expansão em série possua coeficientes inteiros.

O Produto triplo de Jacobi implica que o eta é (a menos de um fator) uma função teta de Jacobi para valores especiais dos argumentos:

onde é "o" caractere de Dirichlet módulo 12 com e . Explicitamente,

A função de Euler

possui uma série de potências dada pela identidade de Euler:

Note que, usando o teorema dos números pentagonais de Euler para , a função eta pode ser expressa como

Isso pode ser provado substituindo no teorema dos números pentagonais de Euler com a definição da função eta.

Outra forma de ver a função eta é através do seguinte limite:

Que, alternativamente, é:

Onde é a função teta de Jacobi e

Como a função eta é fácil de calcular numericamente a partir de qualquer série de potências, é frequentemente útil em cálculos expressar outras funções em termos dela quando possível, e produtos e quocientes de funções eta, chamados de quocientes eta, podem ser usados para expressar uma grande variedade de formas modulares.

A imagem nesta página mostra o módulo da função de Euler: o fator adicional de entre esta e a função eta não faz quase nenhuma diferença visual. Portanto, esta imagem pode ser considerada como uma representação de eta como uma função de .

Identidades combinatórias A teoria dos caracteres algébricos das álgebras de Lie afins dá origem a uma grande classe de identidades anteriormente desconhecidas para a função eta. Estas identidades decorrem da Fórmula de caráter de Weyl-Kac, e mais especificamente das chamadas "identidades de denominador". Os próprios caracteres permitem a construção de generalizações da função teta de Jacobi que se transformam sob o grupo modular; é isso que leva às identidades. Um exemplo de uma dessas novas identidades é

onde é o -análogo ou "deformação" do peso máximo de um módulo.

Valores especiais A partir da conexão acima com a função de Euler juntamente com os valores especiais desta última, pode-se deduzir facilmente que:

Quocientes eta Os quocientes eta são definidos por quocientes da forma

onde é um número inteiro não negativo e é qualquer número inteiro. Combinações lineares de quocientes eta em argumentos quadráticos imaginários podem ser algébricas, enquanto combinações de quocientes eta podem até ser inteiras. Por exemplo, definindo:

com a 24ª potência da função modular de Weber . Então,

e assim por diante, valores que aparecem nas séries de Ramanujan-Sato.

Os quocientes eta também podem ser uma ferramenta útil para descrever bases de formas modulares, que são difíceis de calcular e expressar diretamente. Em 1959, Morris Newman provou que se um quociente eta da forma dada acima, nomeadamente satisfaz

então é uma forma modular de peso para o subgrupo de congruência (a menos de holomorfismo) onde

Esse resultado foi estendido em 2019 de modo que a recíproca seja válida para casos em que é coprimo com 6, e continua em aberto se o teorema original é exato para todos os inteiros . Isso também se estende para afirmar que qualquer quociente eta modular para qualquer subgrupo de congruência de nível deve ser também uma forma modular para o grupo . Embora esses teoremas caracterizem quocientes eta modulares, a condição de holomorfismo deve ser verificada separadamente usando um teorema que surgiu a partir do trabalho de Gérard Ligozat e Yves Martin:

Se for um quociente eta que satisfaça as condições acima para o inteiro e se e forem inteiros coprimos, então a ordem de anulação na cúspide em relação a é

Estes teoremas fornecem um meio eficaz de criar quocientes eta modulares holomorfos, contudo isso pode não ser suficiente para construir uma base para um espaço vetorial de formas modulares e formas de cúspide. Um teorema útil para limitar o número de quocientes eta modulares a considerar estabelece que um quociente eta modular holomorfo de peso em deve satisfazer

onde denota o maior inteiro tal que divide . Esses resultados levam a diversas caracterizações de espaços de formas modulares que podem ser gerados por quocientes eta modulares. Usando a estrutura de anel graduado no anel de formas modulares, podemos calcular bases de espaços vetoriais de formas modulares compostas de combinações -lineares de quocientes eta. Por exemplo, se assumirmos que é um semiprimo, então o processo a seguir pode ser usado para calcular uma base de quociente eta de .

Uma coleção de mais de 6300 identidades de produto para a função eta de Dedekind em uma forma canônica e padronizada está disponível na Wayback Machine do site de Michael Somos.

Ver também

Fórmula de Chowla-Selberg Série de Ramanujan-Sato Série-q Função elíptica de Weierstrass Função de partição Fórmula do limite de Kronecker Álgebra de Lie afim

Referências

Leitura adicional

Categoria:Fractais Categoria:Formas modulares Categoria:Funções elípticas