Na matemática, a teoria de Arakelov (ou geometria de Arakelov) é uma abordagem para a Geometria diofantina, nomeada em homenagem a Suren Arakelov. É usada para estudar equações diofantinas em dimensões superiores.

Contexto A principal motivação por trás da geometria de Arakelov é que existe uma correspondência entre ideais primos e lugares finitos , mas também existe um lugar no infinito , dado pela valorização arquimediana, que não possui um ideal primo correspondente. A geometria de Arakelov fornece uma técnica para compactificar em um espaço completo que possui um primo situado no infinito.

A construção original de Arakelov estuda uma dessas teorias, onde uma definição de divisores é construída para um esquema de dimensão relativa 1 sobre de tal forma que ele se estende a uma Superfície de Riemann para toda valorização no infinito. Além disso, ele equipa essas superfícies de Riemann com métricas hermitianas em fibrados vetoriais holomorfos sobre , os pontos complexos de . Essa estrutura hermitiana extra é aplicada como um substituto para a falha do esquema Spec(Z) em ser uma variedade completa.

Note que existem outras técnicas para construir um espaço completo estendendo , o que forma a base da geometria F1.

Definição original de divisores Seja um corpo, seu anel de inteiros, e uma curva de gênero sobre com um modelo não singular , chamado de superfície aritmética. Além disso, seja uma inclusão de corpos (que supostamente representa um lugar no infinito). Seja também a superfície de Riemann associada a partir da mudança de base para . Usando esses dados, pode-se definir um c-divisor como uma combinação linear formal onde é um subconjunto fechado irredutível de de codimensão 1, , e , e a soma representa a soma sobre cada imersão real de e sobre uma imersão para cada par de imersões complexas . O conjunto de c-divisores forma um grupo .

Resultados Arakelov (1974, 1975) definiu uma teoria da interseção nas superfícies aritméticas anexadas a curvas projetivas suaves sobre corpos de números, com o objetivo de provar certos resultados — conhecidos no caso de corpos de funções — para o caso de corpos de números. Faltings (1984) estendeu o trabalho de Arakelov estabelecendo resultados como um teorema de Riemann-Roch, uma Fórmula de Noether, um teorema do índice de Hodge e a não-negatividade da autointerseção do feixe dualizante neste contexto.

A teoria de Arakelov foi usada por Paul Vojta (1991) para dar uma nova prova da Conjectura de Mordell, e por Faltings (1991) em sua prova da generalização de Serge Lang da conjectura de Mordell.

Pierre Deligne (1987) desenvolveu um arcabouço mais geral para definir o emparelhamento de interseção definido em uma superfície aritmética sobre o espectro de um anel de inteiros por Arakelov. Shou-Wu Zhang (1992) desenvolveu uma teoria de fibrados em retas positivos e provou um teorema do tipo Nakai–Moishezon para superfícies aritméticas. Desenvolvimentos posteriores na teoria de fibrados em retas positivos por Zhang (1993, 1995a, 1995b) e Szpiro, Ullmo e Zhang (1997) culminaram em uma prova da Conjectura de Bogomolov por Ullmo (1998) e Zhang (1998).

A teoria de Arakelov foi generalizada por Henri Gillet e Christophe Soulé para dimensões superiores. Ou seja, Gillet e Soulé definiram um emparelhamento de interseção em uma variedade aritmética. Um dos principais resultados de Gillet e Soulé é o teorema de Riemann-Roch aritmético (1992), uma extensão do Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch para variedades aritméticas. Para isso, define-se os grupos de Chow aritméticos de uma variedade aritmética , e define-se as classes de Chern para fibrados vetoriais hermitianos sobre assumindo valores nos grupos de Chow aritméticos. O teorema de Riemann-Roch aritmético então descreve como a classe de Chern se comporta sob a imagem direta (pushforward) de fibrados vetoriais sob um morfismo próprio de variedades aritméticas. Uma prova completa deste teorema só foi publicada recentemente por Gillet, Rössler e Soulé.

A teoria da interseção de Arakelov para superfícies aritméticas foi desenvolvida ainda mais por Jean-Benoît Bost (1999). A teoria de Bost baseia-se no uso de funções de Green que, a menos de singularidades logarítmicas, pertencem ao espaço de Sobolev . Neste contexto, Bost obtém um teorema do índice de Hodge aritmético e o utiliza para obter teoremas de Lefschetz para superfícies aritméticas.

Grupos de Chow aritméticos Um ciclo aritmético de codimensão é um par onde é um -ciclo em e é uma corrente de Green para , uma generalização de dimensão superior de uma função de Green. O grupo de Chow aritmético de codimensão é o quociente deste grupo pelo subgrupo gerado por certos ciclos "triviais".Manin & Panchishkin (2008) pp.400–401

O teorema de Riemann-Roch aritmético O Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch usual descreve como o Caráter de Chern se comporta sob a imagem direta (pushforward) de feixes, e afirma que , onde é um morfismo próprio de para e é um fibrado vetorial sobre . O teorema de Riemann-Roch aritmético é semelhante, exceto que a Classe de Todd é multiplicada por uma certa série de potências. O teorema de Riemann-Roch aritmético afirma onde

e são esquemas projetivos regulares aritméticos. é um morfismo próprio suave de para . é um fibrado vetorial aritmético sobre . é o caráter de Chern aritmético. é o fibrado tangente relativo. é a classe de Todd aritmética. é . é a classe característica aditiva associada à série de potências formal

Ver também

Teoria de Hodge-Arakelov Teoria de Hodge Teoria de Hodge p-ádica Grupo adélico

Referências

Bibliografia

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Ligações externas

Artigo original (em inglês) Arquivo de preprints sobre geometria de Arakelov (em inglês)

Categoria:Equação diofantina Categoria:Geometria algébrica