Na geometria algébrica, um morfismo finito entre duas variedades afins é um mapeamento regular denso que induz uma inclusão isomórfica entre seus anéis de coordenadas, de tal modo que é inteiro sobre . Esta definição pode ser estendida para as variedades quase-projetivas, de tal modo que um mapeamento regular entre variedades quase-projetivas é finito se qualquer ponto possuir uma vizinhança afim tal que seja afim e seja um mapeamento finito (tendo em vista a definição anterior, por se tratar de variedades afins).
Definição por esquemas Um morfismo de esquemas é um morfismo finito se possui uma cobertura aberta por esquemas afins
tal que para cada ,
é um subesquema afim aberto , e a restrição de a , que induz um homomorfismo de anéis
torna um módulo finitamente gerado sobre (em outras palavras, uma -álgebra finita). Diz-se também que é finito sobre .
De fato, é finito se e somente se para todo subesquema afim aberto em , a imagem inversa de em for afim, da forma , com sendo um -módulo finitamente gerado..
Por exemplo, para qualquer corpo , é um morfismo finito, uma vez que como -módulos. Geometricamente, isso é obviamente finito, pois se trata de um revestimento ramificado de folhas da reta afim que se degenera na origem. Em contrapartida, a inclusão de em não é finita. (De fato, o anel de polinômios de Laurent não é finitamente gerado como um módulo sobre .) Isso restringe nossa intuição geométrica a famílias sobrejetivas com fibras finitas.
Propriedades dos morfismos finitos A composição de dois morfismos finitos é finita. Qualquer mudança de base de um morfismo finito é finita. Ou seja, se é qualquer morfismo de esquemas, então o morfismo resultante é finito. Isso corresponde à seguinte afirmação algébrica: se e são -álgebras (comutativas), e é finitamente gerado como um -módulo, então o produto tensorial é finitamente gerado como um -módulo. De fato, os geradores podem ser tomados como sendo os elementos , onde são os geradores dados de como um -módulo. Imersões fechadas são finitas, pois são dadas localmente por , onde é o ideal (seção do feixe de ideais) correspondente ao subesquema fechado. Morfismos finitos são fechados, portanto (devido à sua estabilidade sob mudança de base) são próprios. Isso decorre do teorema de subida (going up) de Cohen-Seidenberg na álgebra comutativa. Morfismos finitos possuem fibras finitas (ou seja, eles são quase-finitos). Isso segue do fato de que para um corpo , toda -álgebra finita é um anel artiniano. Uma afirmação relacionada é que, para um morfismo sobrejetivo finito , e possuem a mesma dimensão. De acordo com Deligne, um morfismo de esquemas é finito se e somente se for próprio e quase-finito.Grothendieck, EGA IV, Part 4, Corollaire 18.12.4. Isso já havia sido demonstrado por Grothendieck se o morfismo for localmente de apresentação finita, o que decorre das demais suposições caso seja noetheriano.Grothendieck, EGA IV, Part 3, Théorème 8.11.1. Morfismos finitos são simultaneamente projetivos e afins.
Ver também Glossário de geometria algébrica Morfismo de tipo finito
Referências
Bibliografia
Categoria:Geometria algébrica Categoria:Morfismos