Na matemática, um feixe de -módulos ou simplesmente um -módulo sobre um espaço anelado é um feixe de grupos abelianos tal que, para qualquer subconjunto aberto de , é um -módulo e as aplicações de restrição são compatíveis com as aplicações de restrição : a restrição de é a restrição de multiplicada pela restrição de para qualquer em e em .

O caso padrão é quando é um esquema e o seu feixe estrutural. Se for o feixe constante , então um feixe de -módulos é o mesmo que um feixe de grupos abelianos (isto é, um feixe abeliano).

Se for o espectro primo de um anel , então qualquer -módulo define um -módulo (chamado de feixe associado) de forma natural. De modo análogo, se for um anel graduado e for o Proj de , então qualquer módulo graduado define um -módulo de forma natural. Os -módulos que surgem dessa maneira são exemplos de feixes quase-coerentes, e de fato, em esquemas afins ou projetivos, todos os feixes quase-coerentes são obtidos dessa maneira.

Os feixes de módulos sobre um espaço anelado formam uma categoria abeliana.Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry, 2.5. Além disso, essa categoria tem injetivos suficientes, e, consequentemente, é possível definir a coomologia de feixe como o -ésimo functor derivado à direita do functor de seção global .Esse functor de coomologia coincide com o functor derivado à direita do functor de seção global na categoria dos feixes abelianos; cf.

Exemplos Dado um espaço anelado , se é um -submódulo de , então ele é chamado de feixe de ideais ou feixe ideal de , uma vez que, para cada subconjunto aberto de , é um ideal do anel . Seja uma variedade suave de dimensão . Então o feixe tangente de é o dual do feixe cotangente e o feixe canônico é a -ésima potência exterior (determinante) de . Um feixe de álgebras é um feixe de módulos que também é um feixe de anéis.

Operações Seja um espaço anelado. Se e são -módulos, então o seu produto tensorial, denotado por ou , é o -módulo que é o feixe associado ao pré-feixe (Para ver que a feixificação não pode ser evitada, calcule as seções globais de onde é o feixe de torção de Serre em um espaço projetivo.)

Da mesma forma, se e são -módulos, então

denota o -módulo que é o feixe .Há um homomorfismo canônico:

o qual é um isomorfismo se for de apresentação finita (EGA, Ch. 0, 5.2.6.) Em particular, o -módulo

é chamado de módulo dual de e é denotado por . Observação: para quaisquer -módulos , , existe um homomorfismo canônico , o qual é um isomorfismo se for um feixe localmente livre de posto finito. Em particular, se for localmente livre de posto um (tal é chamado de feixe inversível ou fibrado em retas),Para feixes coerentes, possuir um inverso tensorial é o mesmo que ser localmente livre de posto um; de fato, existe o seguinte fato: se e se for coerente, então , são localmente livres de posto um. (cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.) então isto se lê:

implicando que as classes de isomorfismo de feixes inversíveis formam um grupo. Esse grupo é chamado de grupo de Picard de e é canonicamente identificado com o primeiro grupo de coomologia (pelo argumento padrão com coomologia de Čech).

Se é um feixe localmente livre de posto finito, então existe uma aplicação -linear dada pelo emparelhamento; ela é chamada de aplicação traço de .

Para qualquer -módulo , a álgebra tensorial, a álgebra exterior e a álgebra simétrica de são definidas da mesma maneira. Por exemplo, a -ésima potência exterior

é o feixe associado ao pré-feixe . Se for localmente livre de posto , então é chamado de fibrado em retas determinante (embora, tecnicamente, seja um feixe inversível) de , denotado por . Existe um emparelhamento perfeito natural:

Seja um morfismo de espaços anelados. Se é um -módulo, então o feixe imagem direta é um -módulo por meio da aplicação natural (tal aplicação natural é parte dos dados de um morfismo de espaços anelados).

Se é um -módulo, então a imagem inversa de módulo de é o -módulo dado como o produto tensorial de módulos:

onde é o feixe imagem inversa de e é obtido de por adjunção.

Existe uma relação adjunta entre e : para qualquer -módulo e -módulo ,

como grupo abeliano. Existe também a fórmula de projeção: para um -módulo e um -módulo localmente livre de posto finito,

Propriedades

Seja um espaço anelado. Um -módulo é dito ser gerado por seções globais se existe uma sobrejeção de -módulos:

Explicitamente, isto significa que existem seções globais de tais que as imagens de em cada talo geram como um -módulo.

Um exemplo de tal feixe é aquele associado, em geometria algébrica, a um -módulo , sendo um anel comutativo qualquer, no espectro do anel . Outro exemplo: de acordo com o teorema A de Cartan, qualquer feixe coerente em uma variedade de Stein é gerado por seções globais. (cf. teorema A de Serre abaixo.) Na teoria de esquemas, uma noção relacionada é a de fibrado em retas amplo. (Por exemplo, se é um fibrado em retas amplo, alguma potência dele é gerada por seções globais.)

Um -módulo injetivo é flácido (ou seja, todas as aplicações de restrição são sobrejetivas). Visto que um feixe flácido é acíclico na categoria de feixes abelianos, isto implica que o -ésimo functor derivado à direita do functor de seção global na categoria de -módulos coincide com a usual -ésima coomologia de feixe na categoria de feixes abelianos.Veja também: https://math.stackexchange.com/q/447234

Feixe associado a um módulo Seja um módulo sobre um anel . Faça e escreva . Para cada par , pela propriedade universal da localização, existe uma aplicação natural

possuindo a propriedade de que . Então

é um functor contravariante da categoria cujos objetos são os conjuntos e cujos morfismos são as inclusões de conjuntos para a categoria de grupos abelianos. Pode-se mostrar que isto é de fato um B-feixe (ou seja, satisfaz o axioma de colagem) e, portanto, define o feixe em chamado de feixe associado a .

O exemplo mais básico é o feixe estrutural em ; isto é, . Além disso, possui a estrutura de um módulo sobre e, assim, obtém-se o functor exato de , a categoria de módulos sobre , para a categoria de módulos sobre . Ele define uma equivalência de para a categoria de feixes quase-coerentes em , sendo o inverso , o functor de seção global. Quando é um esquema noetheriano, o functor é uma equivalência da categoria de -módulos finitamente gerados para a categoria de feixes coerentes em .

A construção possui as seguintes propriedades: para quaisquer -módulos , , e qualquer morfismo , . Para qualquer ideal primo de , como -módulo. . Se é finitamente apresentado, . , devido à equivalência entre e a categoria de feixes quase-coerentes em . ; em particular, tomar a soma direta comuta com o til (~). Uma sequência de -módulos é exata se e somente se a sequência induzida pelo ~ for exata. Em particular, .

Feixe associado a um módulo graduado Existe um análogo graduado da construção e da equivalência da seção anterior. Seja um anel graduado gerado por elementos de grau um como -álgebra ( significa a parte de grau zero) e um -módulo graduado. Seja o Proj de (portanto, será um esquema projetivo se for um anel noetheriano). Então, existe um -módulo tal que, para qualquer elemento homogêneo de grau positivo de , há um isomorfismo natural

como feixes de módulos no esquema afim ; de fato, isto define por meio da colagem.

Exemplo: Seja o -módulo graduado dado por . Então é chamado de feixe de torção de Serre, que é o dual do fibrado em retas tautológico se for finitamente gerado no grau um.

Se for um -módulo em , então, escrevendo , existirá um homomorfismo canônico:

o qual é um isomorfismo se e somente se for quase-coerente.

Calculando a coomologia de feixes

A coomologia de feixes tem a reputação de ser difícil de calcular. Por isso, o próximo fato geral é fundamental para qualquer computação prática:

O teorema do anulamento de Serre afirma que se for uma variedade projetiva e um feixe coerente sobre ela, então, para um suficientemente grande, o twist de Serre será gerado por finitas seções globais. Além disso, Para cada , é finitamente gerado sobre , e Existe um número inteiro , dependendo de , tal que

Extensão de feixe Seja um espaço anelado, e sejam , feixes de -módulos em . Uma extensão de por é uma sequência exata curta de -módulos

Assim como no caso das extensões de grupo, se fixarmos e , todas as classes de equivalência das extensões de por formarão um grupo abeliano (cf. soma de Baer), o qual é isomorfo ao grupo Ext , onde o elemento neutro em corresponde à extensão trivial.

No caso em que é , nós temos: para qualquer ,

já que ambos os lados são os functores derivados à direita do mesmo functor

Nota: Alguns autores, notavelmente Hartshorne, deixam de lado o subscrito .

Assuma que seja um esquema projetivo sobre um anel noetheriano. Sejam , feixes coerentes em e um número inteiro. Então existe tal que , onde denota os functores derivados de .

Resoluções localmente livres A pode ser prontamente computada para qualquer feixe coerente usando uma resolução localmente livre: dado um complexo

então

portanto

Exemplos

Hipersuperfície Considere uma hipersuperfície suave de grau . Logo, podemos computar uma resolução

e descobrir que

União de interseções completas suaves Considere o esquema

onde é uma interseção completa suave e , . Nós temos um complexo

resolvendo o qual podemos usar para calcular .

Ver também D-módulo (no lugar de , pode-se considerar , o feixe de operadores diferenciais). Ideal fracionário Fibrado vetorial holomorfo Liberdade genérica

Bibliografia

Categoria:Teoria de feixes