O modelo de Maxwell convectivo superior (UCM, do inglês upper-convected Maxwell) é uma generalização do material de Maxwell para o caso de grandes deformações utilizando a derivada temporal convectiva superior. O modelo foi proposto por James G. Oldroyd. O conceito recebeu o nome em homenagem a James Clerk Maxwell. É a equação constitutiva independente do observador mais simples para a viscoelasticidade e, além disso, é capaz de reproduzir as primeiras tensões normais. Assim, constitui um dos modelos mais fundamentais para a reologia.

O modelo pode ser escrito como:

onde: é o tensor de tensão; é o tempo de relaxamento; é a derivada temporal convectiva superior do tensor de tensão:

é a velocidade do fluido e o gradiente de um vetor segue a convenção . é a viscosidade do material sob cisalhamento simples estacionário; é o tensor taxa de deformação.

O modelo pode ser derivado aplicando o conceito de invariância do observador ao material de Maxwell ou por meio de dois modelos mesoscópicos diferentes, nomeadamente os halteres hookeanos (Hookean dumbbells) ou as redes temporárias. Embora ambos os modelos microscópicos conduzam à equação de evolução superior para a tensão, trabalhos recentes apontaram as diferenças ao contabilizar também as flutuações de tensão.

Caso do cisalhamento estacionário

Neste caso, apenas duas componentes da tensão de cisalhamento se tornam diferentes de zero:

e

onde é a taxa de cisalhamento.

Assim, o modelo de Maxwell convectivo superior prevê para o cisalhamento simples que a tensão de cisalhamento seja proporcional à taxa de cisalhamento e que a primeira diferença de tensões normais () seja proporcional ao quadrado da taxa de cisalhamento, sendo a segunda diferença de tensões normais () sempre zero. Por outras palavras, o UCM prevê o aparecimento da primeira diferença de tensões normais, mas não prevê um comportamento não newtoniano da viscosidade de cisalhamento nem a segunda diferença das tensões normais.

Geralmente, o comportamento quadrático da primeira diferença de tensões normais e a ausência de uma segunda diferença nas tensões normais correspondem a um comportamento realista de polímeros fundidos sob taxas de cisalhamento moderadas, mas a viscosidade constante é irrealista e limita a utilidade do modelo.

Caso do início do cisalhamento estacionário Neste caso, apenas duas componentes da tensão de cisalhamento se tornam diferentes de zero:

e

As equações acima descrevem as tensões a subir gradualmente de zero até aos valores de estado estacionário. A equação só é aplicável quando o perfil de velocidade no fluxo de cisalhamento está totalmente desenvolvido. Nesse cenário, a taxa de cisalhamento é constante ao longo da altura do canal. Se for necessário calcular o arranque a partir de uma distribuição de velocidade nula, o conjunto completo de EDPs (equações diferenciais parciais) tem de ser resolvido.

Caso da extensão uniaxial ou compressão uniaxial em estado estacionário

Neste caso, o UCM prevê as tensões normais calculadas pela seguinte equação:

onde é a taxa de alongamento.

A equação prevê que a viscosidade elongacional se aproxima de (o mesmo valor que para os fluidos newtonianos) no caso de uma taxa de alongamento baixa (), com um rápido espessamento por deformação em que a viscosidade de estado estacionário se aproxima do infinito a uma determinada taxa de alongamento () e a uma determinada taxa de compressão (). Este comportamento parece ser realista.

Caso de pequena deformação Para o caso de pequena deformação, as não linearidades introduzidas pela derivada convectiva superior desaparecem e o modelo torna-se num modelo comum de material de Maxwell.

Referências

Bibliografia

Categoria:Fluidos não newtonianos