alt=Gráfico da função hipergeométrica generalizada pFq(a b z) com a=(2,4,6,8) e b=(2,3,5,7,11) no plano complexo de -2-2i a 2+2i|miniatura|Gráfico da função hipergeométrica generalizada pFq(a b z) com a=(2,4,6,8) e b=(2,3,5,7,11) no plano complexo de -2-2i a 2+2i criado com a função ComplexPlot3D do Mathematica 13.1
Na matemática, uma série hipergeométrica generalizada é uma série de potências na qual a razão de coeficientes sucessivos indexados por n é uma função racional de n. A série, se convergente, define uma função hipergeométrica generalizada, que pode então ser definida sobre um domínio mais amplo do argumento por continuação analítica. A série hipergeométrica generalizada às vezes é chamada apenas de série hipergeométrica, embora este termo também se refira às vezes apenas à série hipergeométrica gaussiana. As funções hipergeométricas generalizadas incluem a função hipergeométrica (gaussiana) e a função hipergeométrica confluente como casos especiais, que por sua vez têm muitas funções especiais particulares como casos especiais, tais como funções elementares, funções de Bessel e os polinômios ortogonais clássicos.
Notação Uma série hipergeométrica é formalmente definida como uma série de potências
na qual a razão de coeficientes sucessivos é uma função racional de n. Isto é,
onde A(n) e B(n) são polinômios em n.
Por exemplo, no caso da série para a função exponencial,
temos:
Portanto, isso satisfaz a definição com e .
É costume fatorar o termo inicial, de modo que se assume que β0 seja 1. Os polinômios podem ser fatorados em fatores lineares da forma (aj + n) e (bk + n) respectivamente, onde os aj e bk são números complexos.
Por razões históricas, assume-se que (1 + n) seja um fator de B. Se este não for o caso, então tanto A quanto B podem ser multiplicados por este fator; o fator se cancela de modo que os termos permaneçam inalterados e não haja perda de generalidade.
A razão entre coeficientes consecutivos tem agora a forma , onde c e d são os coeficientes principais de A e B. A série então tem a forma , ou, redimensionando z pelo fator apropriado e rearranjando, .
Isto tem a forma de uma função geradora exponencial. Esta série é geralmente denotada por
ou
Usando o fatorial crescente ou símbolo de Pochhammer
onde representa a função gama, isto pode ser escrito como
(Note que este uso do símbolo de Pochhammer não é o padrão generalizado; contudo, é o uso padrão neste contexto.)
Terminologia Quando todos os termos da série são definidos e ela possui um raio de convergência não nulo, a série define uma função analítica. Tal função, e suas continuações analíticas, é chamada de função hipergeométrica.
O caso em que o raio de convergência é 0 produz muitas séries interessantes na matemática, por exemplo, a função gama incompleta tem a expansão assintótica
que poderia ser escrita como za−1e−z 2F0(1−a,1;;−z−1). No entanto, o uso do termo série hipergeométrica é geralmente restrito ao caso em que a série define uma função analítica real.
A série hipergeométrica ordinária não deve ser confundida com a série hipergeométrica básica, que, apesar do nome, é uma série muito mais complicada e recôndita. A série "básica" é o q-análogo da série hipergeométrica ordinária. Existem várias generalizações da série hipergeométrica ordinária, incluindo as que advêm das funções esféricas zonais sobre espaços simétricos riemannianos.
A série sem o fator de n! no denominador (somada sobre todos os inteiros n, incluindo os negativos) é chamada de série hipergeométrica bilateral.
Condições de convergência Existem certos valores dos aj e bk para os quais o numerador ou o denominador dos coeficientes é 0. Se algum aj é um número inteiro não positivo (0, −1, −2, etc.) então a série tem apenas um número finito de termos e é, na verdade, um polinômio de grau −aj. Se algum bk é um número inteiro não positivo (exceto o caso anterior com bk < aj) então os denominadores se tornam 0 e a série é indefinida.
Excluindo esses casos, o teste da razão pode ser aplicado para determinar o raio de convergência. Se p < q + 1 então a razão dos coeficientes tende a zero. Isso implica que a série converge para qualquer valor finito de z e, assim, define uma função inteira de z. Um exemplo é a série de potências para a função exponencial. Se p = q + 1 então a razão dos coeficientes tende a um. Isso implica que a série converge para |z| < 1 e diverge para |z| > 1. Determinar se converge para |z| = 1 é mais difícil. A continuação analítica pode ser empregada para valores maiores de z. Se p > q + 1 então a razão de coeficientes cresce sem limites. Isso implica que, exceto para z = 0, a série diverge. Esta é então uma série divergente ou assintótica, ou pode ser interpretada como uma notação simbólica para uma equação diferencial que a soma satisfaz formalmente.
A questão da convergência para p=q+1 quando z está no círculo unitário é mais complexa. Pode-se demonstrar que a série converge absolutamente em z = 1 se . Além disso, se p=q+1, e z é real, então o seguinte resultado de convergência é válido : .
Propriedades básicas É imediato pela definição que a ordem dos parâmetros aj, ou a ordem dos parâmetros bk pode ser alterada sem modificar o valor da função. Também, se algum dos parâmetros aj for igual a algum dos parâmetros bk, então os parâmetros correspondentes podem ser "cancelados", com certas exceções quando os parâmetros são inteiros não positivos. Por exemplo, . Este cancelamento é um caso especial de uma fórmula de redução que pode ser aplicada sempre que um parâmetro na linha superior diferir de um na linha inferior por um inteiro não negativo.
Transformada integral de Euler A seguinte identidade básica é muito útil pois relaciona as funções hipergeométricas de ordem superior em termos de integrais sobre as de ordem inferior
Diferenciação A função hipergeométrica generalizada satisfaz
e
Adicionalmente,
A combinação destas resulta em uma equação diferencial satisfeita por w = pFq: .
Funções contíguas e identidades relacionadas Considere o seguinte operador:
Pelas fórmulas de diferenciação dadas acima, o espaço linear gerado por
contém cada uma de
Como o espaço possui dimensão 2, quaisquer três destas p+q+2 funções são linearmente dependentes:
Estas dependências podem ser expandidas para gerar um grande número de identidades envolvendo .
Por exemplo, no caso não-trivial mais simples, , , , Então .
Esta, e outros exemplos importantes,
, ,
, , ,
podem ser usados para gerar expressões de frações contínuas conhecidas como a Fração contínua de Gauss.
De maneira análoga, aplicando-se as fórmulas de diferenciação duas vezes, há tais funções contidas em
o qual possui dimensão três, então quaisquer quatro delas são linearmente dependentes. Isso gera mais identidades e o processo pode ser continuado. As identidades assim geradas podem ser combinadas entre si para produzir novas identidades de maneira diferente.
Uma função obtida adicionando-se ±1 a exatamente um dos parâmetros aj, bk em
é chamada de contígua a
Usando a técnica descrita acima, uma identidade relacionando e suas duas funções contíguas pode ser dada, além de terem sido encontradas seis identidades relacionando e quaisquer duas de suas quatro funções contíguas, e quinze identidades relacionando e quaisquer duas de suas seis funções contíguas. A primeira delas foi derivada no parágrafo anterior. As últimas quinze foram apresentadas por .
Identidades
Inúmeras outras identidades de funções hipergeométricas foram descobertas ao longo dos séculos XIX e XX. Uma contribuição do século XX para a metodologia de prova destas identidades é o Método de Egorychev.
Teorema de Saalschütz O teorema de SaalschützConsulte ou para uma prova, ou o ProofWiki. é dado por
Para uma extensão deste teorema, veja um artigo de pesquisa de Rakha & Rathie. De acordo com , na verdade ele foi descoberto inicialmente por Pfaff em 1797.Pfaff, J. F. . Observations analyticae ad L. Euleri Institutiones Calculi Integralis. Vol. IV, Supplem. II et IV, Historie de 1793, Nova Acata Acad. Scie. Petropolitanae. XI, 38-57. (Nota: A seção de história é paginada separadamente da seção científica deste periódico.)
Identidade de Dixon
A Identidade de Dixon,Consulte para uma demonstração detalhada. Uma demonstração alternativa encontra-se em provada pela primeira vez por , dá a soma de uma função 3F2 bem balanceada em 1:
Para a generalização da identidade de Dixon, veja um artigo de Lavoie, et al.
Fórmula de Dougall A fórmula de Dougall dá a soma de uma série muito bem balanceada que é terminante e 2-balanceada.
Terminante significa que m é um inteiro não negativo e 2-balanceada significa que
Muitas das outras fórmulas para valores especiais de funções hipergeométricas podem ser derivadas desta como casos especiais ou limitantes. É também chamada de identidade de Dougall-Ramanujan. É um caso especial da identidade de Jackson, e fornece a identidade de Dixon e o teorema de Saalschütz como casos especiais.
Generalização das transformações e identidades de Kummer para 2F2 Identidade 1.
onde ;
Identidade 2.
que liga as funções de Bessel à 2F2; isto reduz à segunda fórmula de Kummer para b = 2a:
Identidade 3. .
Identidade 4.
que é uma soma finita caso b-d seja um inteiro não negativo.
Relação de Kummer A relação de Kummer é
Fórmula de Clausen
A fórmula de Clausen
foi utilizada por de Branges para provar a Conjectura de Bieberbach.
Casos especiais Muitas das funções especiais na matemática são casos especiais da função hipergeométrica confluente ou da função hipergeométrica; veja os artigos correspondentes para exemplos.
A série 0F0
Conforme notado anteriormente, . A equação diferencial para esta função é , cujas soluções são onde k é uma constante.
A série 0F1 As funções da forma são chamadas de funções hipergeométricas limites confluentes e estão intimamente relacionadas às funções de Bessel.
A relação é:
A equação diferencial para esta função é
ou
Quando a não é um número inteiro positivo, a substituição
fornece uma solução linearmente independente
de modo que a solução geral é
onde k, l são constantes. (Caso a seja um inteiro positivo, a solução independente é dada pela função de Bessel correspondente do segundo tipo.)
Um caso especial é:
A série 1F0
Um caso importante é:
A equação diferencial para esta função é
ou
que tem as soluções
onde k é uma constante.
é a série geométrica com razão z e coeficiente 1.
também é útil.
A série 1F1
As funções da forma são chamadas de funções hipergeométricas confluentes do primeiro tipo, também escritas como . A função gama incompleta é um caso especial.
A equação diferencial para esta função é
ou
Quando b não é um inteiro positivo, a substituição
fornece uma solução linearmente independente
logo a solução geral é
onde k, l são constantes.
Quando a é um inteiro não positivo, −n, é um polinômio. Desconsiderando fatores constantes, estes são os Polinômios de Laguerre. Isso implica que os Polinômios de Hermite podem ser expressos em termos da 1F1 da mesma forma.
A série 1F2
As relações a outras funções são conhecidas apenas para certas combinações de parâmetros.
A função é a antiderivada do seno cardinal. Com valores modificados para e , obtém-se a antiderivada de .Victor Nijimbere, Ural Math J vol 3(1) e https://arxiv.org/abs/1703.01907 (2017)
A Função de Lommel é .Watson's "Treatise on the Theory of Bessel functions" (1966), Seção 10.7, Equação (10)
A série 2F0 A função hipergeométrica confluente do segundo tipo pode ser escrita como:
A série 2F1