Na física, os coeficientes de Clebsch-Gordan (CG) são números que surgem no acoplamento de momento angular na mecânica quântica. Eles aparecem como os coeficientes de expansão dos autoestados de momento angular total em uma base desacoplada de produto tensorial. Em termos mais matemáticos, os coeficientes CG são usados na teoria de representação, particularmente de grupos de Lie compactos, para realizar a decomposição explícita em soma direta do produto tensorial de duas representações irredutíveis (isto é, uma representação redutível em representações irredutíveis, em casos onde os números e tipos de componentes irredutíveis já são conhecidos abstratamente). O nome deriva dos matemáticos alemães Alfred Clebsch e Paul Gordan, que encontraram um problema equivalente na teoria dos invariantes.
A partir de uma perspectiva do cálculo vetorial, os coeficientes CG associados ao grupo SO(3) podem ser definidos simplesmente em termos de integrais de produtos de harmônicos esféricos e seus complexos conjugados. A adição de spins em termos da mecânica quântica pode ser lida diretamente a partir desta abordagem, pois os harmônicos esféricos são autofunções do momento angular total e sua projeção sobre um eixo, e as integrais correspondem ao produto interno do espaço de Hilbert. A partir da definição formal de momento angular, relações de recorrência para os coeficientes de Clebsch-Gordan podem ser encontradas. Também existem fórmulas explícitas complicadas para o seu cálculo direto.
As fórmulas abaixo usam a notação bra-ket de Dirac e a convenção de fase de Condon-Shortley é adotada.
Revisão dos operadores de momento angular
Os operadores de momento angular são operadores autoadjuntos , e que satisfazem as relações de comutação
onde é o símbolo de Levi-Civita. Juntos, os três operadores definem um operador vetorial, um operador tensorial cartesiano de posto um,
Ele também é conhecido como um vetor esférico, uma vez que também é um operador tensorial esférico. É apenas para o posto um que os operadores tensoriais esféricos coincidem com os operadores tensoriais cartesianos.
Desenvolvendo este conceito ainda mais, pode-se definir outro operador como o produto interno de consigo mesmo:
Este é um exemplo de um operador de Casimir. Ele é diagonal e o seu autovalor caracteriza a representação irredutível particular da álgebra de momento angular . Isto é interpretado fisicamente como o quadrado do momento angular total dos estados sobre os quais a representação atua.
Também é possível definir operadores de levantamento () e abaixamento (), os chamados operadores escada,
Base esférica para autoestados de momento angular
A partir das definições acima, pode-se mostrar que comuta com , e :
Quando dois operadores hermitianos comutam, existe um conjunto comum de autoestados. Convencionalmente, escolhem-se e . A partir das relações de comutação, os autovalores possíveis podem ser encontrados. Estes autoestados são denotados como , onde é o número quântico de momento angular e é a projeção do momento angular sobre o eixo z.
Eles compreendem a base esférica, são completos e satisfazem as seguintes equações de autovalor:
Os operadores de levantamento e abaixamento podem ser usados para alterar o valor de ,
onde o coeficiente escada é dado por:
Em princípio, também se pode introduzir um fator de fase (possivelmente complexo) na definição de . A escolha feita neste artigo está de acordo com a convenção de fase de Condon-Shortley. Os estados de momento angular são ortogonais (porque seus autovalores em relação a um operador hermitiano são distintos) e assume-se que estejam normalizados,
Aqui, os itálicos e denotam números quânticos inteiros ou semointeiros de momento angular de uma partícula ou de um sistema. Por outro lado, as letras romanas , , , , e denotam operadores. Os símbolos são deltas de Kronecker.
Espaço produto tensorial Consideramos agora sistemas com dois momentos angulares fisicamente diferentes, e . Exemplos incluem o spin e o momento angular orbital de um único elétron, os spins de dois elétrons, ou os momentos angulares orbitais de dois elétrons. Matematicamente, isto significa que os operadores de momento angular atuam em um espaço de dimensão e também em um espaço de dimensão . Vamos então definir uma família de operadores de "momento angular total" atuando no espaço de produto tensorial , que tem dimensão . A ação do operador de momento angular total neste espaço constitui uma representação da álgebra de Lie SU(2), mas redutível. A redução desta representação redutível em partes irredutíveis é o objetivo da teoria de Clebsch-Gordan.
Seja o espaço vetorial de dimensão gerado pelos estados
e o espaço vetorial de dimensão gerado pelos estados
O produto tensorial desses espaços, , possui uma base desacoplada de dimensão
Os operadores de momento angular são definidos para atuar sobre os estados em da seguinte maneira:
e
onde denota o operador identidade.
Os operadores de momento angular totalA palavra "total" é frequentemente sobrecarregada para significar várias coisas diferentes. Neste artigo, "momento angular total" refere-se a uma soma genérica de dois operadores de momento angular e . Não deve ser confundido com o outro uso comum do termo "momento angular total" que se refere especificamente à soma do momento angular orbital e do spin. são definidos pelo coproduto (ou produto tensorial) das duas representações atuando sobre ,
Pode-se demonstrar que os operadores de momento angular total satisfazem as mesmíssimas relações de comutação,
onde . De fato, a construção precedente é o método padrão Section 4.3.2 para construir uma ação de uma álgebra de Lie sobre uma representação de produto tensorial.
Assim, um conjunto de autoestados acoplados existe também para o operador de momento angular total,
para . Note que é comum omitir a parte .
O número quântico de momento angular total deve satisfazer a condição triangular de que
de forma que os três valores inteiros ou semointeiros não negativos possam corresponder aos três lados de um triângulo.
O número total de autoestados de momento angular total é necessariamente igual à dimensão de :
Como este cálculo sugere, a representação do produto tensorial se decompõe como a soma direta de uma cópia de cada uma das representações irredutíveis de dimensão , onde varia de até em incrementos de 1. Appendix C Como exemplo, considere o produto tensorial da representação tridimensional correspondente a com a representação bidimensional com . Os valores possíveis de são então e . Dessa forma, a representação de produto tensorial hexadimensional decompõe-se como a soma direta de uma representação bidimensional e uma representação quadridimensional.
O objetivo agora é descrever a decomposição precedente explicitamente, isto é, descrever de forma explícita os elementos da base no espaço produto tensorial para cada uma das representações componentes que surgem.
Os estados de momento angular total formam uma base ortonormal de :
Estas regras podem ser iteradas para, por ex., combinar dubletos (=1/2) a fim de obter a série de decomposição de Clebsch-Gordan, (Triângulo de Catalan),
onde é a função piso inteira; e o número precedendo o rótulo da dimensionalidade da representação irredutível em negrito () indica a multiplicidade dessa representação na redução da representação. Por exemplo, por meio desta fórmula, a adição de três spins 1/2 produz um spin 3/2 e dois spins 1/2, .
Definição formal dos coeficientes de Clebsch-Gordan
Os estados acoplados podem ser expandidos através da relação de completude (resolução da identidade) na base desacoplada
Os coeficientes de expansão
são os coeficientes de Clebsch-Gordan. Note que alguns autores os escrevem em uma ordem diferente, como . Outra notação comum é .
Aplicando os operadores
a ambos os lados da equação definidora mostra que os coeficientes de Clebsch-Gordan só podem ser não nulos quando
Relações de recorrência
As relações de recorrência foram descobertas pelo físico Giulio Racah da Universidade Hebraica de Jerusalém em 1941.
Aplicando os operadores de levantamento e abaixamento de momento angular total ao lado esquerdo da equação definidora obtém-se Aplicando os mesmos operadores ao lado direito obtém-se
A combinação destes resultados fornece relações de recorrência para os coeficientes de Clebsch-Gordan, onde foi definido em :
Tomando o sinal superior com a condição de que obtém-se a relação de recorrência inicial:Na convenção de fase de Condon-Shortley, adiciona-se a restrição de que
(e é, portanto, também real). Os coeficientes de Clebsch-Gordan podem então ser encontrados a partir destas relações de recorrência. A normalização é fixada pela exigência de que a soma dos quadrados, que é equivalente à exigência de que a norma do estado , deva ser igual a um.
O sinal inferior na relação de recorrência pode ser usado para encontrar todos os coeficientes de Clebsch-Gordan com . O uso repetido desta equação fornece todos os coeficientes.
Este procedimento para encontrar os coeficientes de Clebsch-Gordan mostra que todos eles são reais na convenção de fase de Condon-Shortley.
Expressão explícita
Relações de ortogonalidade
Estas são mais claramente descritas introduzindo a notação alternativa
A primeira relação de ortogonalidade é
(derivada do fato de que ) e a segunda é
Casos especiais
Para os coeficientes de Clebsch-Gordan são dados por
Para e temos
Para e temos
Para temos
Para , temos
Para temos
Propriedades de simetria
Uma maneira conveniente de deduzir estas relações é através da conversão dos coeficientes de Clebsch-Gordan para os símbolos 3-j de Wigner usando . As propriedades de simetria dos símbolos 3-j de Wigner são muito mais simples.
Regras para fatores de fase
Deve-se ter cuidado ao simplificar os fatores de fase: um número quântico pode ser um semointeiro em vez de um número inteiro, logo não é necessariamente para um dado número quântico , a menos que se possa provar que seja um número inteiro. Em vez disso, ele é substituído pela seguinte regra mais fraca:
para qualquer número quântico tipo-momento angular .
No entanto, uma combinação de e é sempre um número inteiro, de modo que a regra mais forte se aplica a estas combinações:
Esta identidade também é válida se o sinal de ou de ou de ambos for revertido.
É útil observar que qualquer fator de fase para um dado par pode ser reduzido à forma canônica:
onde e (outras convenções também são possíveis). A conversão dos fatores de fase para esta forma facilita a identificação de dois fatores de fase equivalentes. (Note que esta forma é canônica apenas localmente: ela falha em levar em consideração as regras que regem combinações de pares como aquela descrita no parágrafo a seguir.)
Uma regra adicional é válida para combinações de , e que estão relacionadas por um coeficiente de Clebsch-Gordan ou símbolo 3-j de Wigner:
Esta identidade também se mantém se o sinal de qualquer for revertido, ou se qualquer um deles for substituído por um .
Relação com os símbolos 3-j de Wigner
Os coeficientes de Clebsch-Gordan estão relacionados aos símbolos 3-j de Wigner, que possuem relações de simetria mais convenientes.
O fator deve-se à restrição de Condon-Shortley de que , enquanto deve-se à natureza de reversão temporal de .
Isso permite chegar à expressão geral:
O somatório é executado sobre aqueles valores inteiros para os quais o argumento de cada fatorial no denominador seja não negativo, isto é, os limites de somatório e são tomados como iguais: o inferior o superior Convencionalmente, fatoriais de números negativos são definidos como iguais a zero, de modo que os valores do símbolo 3j em, por exemplo, ou sejam definidos automaticamente como zero.
Relação com as matrizes D de Wigner
Relação com os harmônicos esféricos
No caso em que inteiros estão envolvidos, os coeficientes podem estar relacionados às integrais dos harmônicos esféricos: