miniatura|Gráfico do radical de Bring para argumento real
Em álgebra, o radical de Bring ou ultrarradical de um número real a é a única raiz real do polinômio O radical de Bring define como uma função algébrica de . É a função algébrica mais simples que não pode ser expressa em termos de radicais.
O radical de Bring de um número complexo a é qualquer uma das cinco raízes do polinômio acima (sendo, portanto, uma função multivalorada), ou uma raiz específica, a qual é geralmente escolhida de modo que o radical de Bring assuma valores reais para um a real e seja uma função analítica numa vizinhança da reta real. Devido à existência de quatro pontos de ramificação, o radical de Bring não pode ser definido como uma função contínua em todo o plano complexo, e o seu domínio de continuidade deve excluir quatro cortes de ramificação.
George Jerrard demonstrou que algumas equações quínticas podem ser resolvidas em forma fechada utilizando radicais e radicais de Bring, que haviam sido introduzidos por Erland Bring.
Neste artigo, o radical de Bring de a é denotado como Para um argumento real, ele é ímpar, monotonicamente decrescente e ilimitado, com o comportamento assintótico para valores grandes de .
Formas normais A equação quíntica é bastante difícil de se resolver diretamente, possuindo cinco coeficientes independentes em sua forma mais geral:
Os variados métodos desenvolvidos para solucionar a quíntica geralmente buscam simplificá-la usando transformações de Tschirnhaus para diminuir o número de coeficientes independentes.
Forma quíntica principal A quíntica geral pode ser reduzida àquilo que é conhecido como forma quíntica principal, com os termos quártico e cúbico removidos:
Se as raízes de uma quíntica geral e de uma quíntica principal estiverem relacionadas por uma transformação de Tschirnhaus quadrática
os coeficientes e podem ser determinados usando o resultante, ou por meio da soma das potências das raízes e as identidades de Newton. Isso nos conduz a um sistema de equações em e consistindo em uma equação quadrática e uma equação linear, e qualquer um dos dois conjuntos de soluções pode ser usado para obter os correspondentes três coeficientes da forma quíntica principal.
Esta forma é usada pela solução de Felix Klein para a quíntica.
Forma normal de Bring-Jerrard É possível simplificar a quíntica ainda mais e eliminar o termo quadrático, produzindo a forma normal de Bring-Jerrard:
Usar novamente as fórmulas de soma de potências com uma transformação cúbica, como tentou Tschirnhaus, não funciona, uma vez que o sistema de equações resultante leva a uma equação do sexto grau. Porém, em 1796, Bring encontrou uma maneira de contornar esse problema usando uma transformação de Tschirnhaus quártica para relacionar as raízes de uma quíntica principal com as de uma quíntica de Bring-Jerrard:
O parâmetro extra fornecido por esta transformação de quarta ordem permitiu que Bring diminuísse os graus dos outros parâmetros. Isto leva a um sistema de cinco equações com seis incógnitas, o qual exige então a solução de uma equação cúbica e de uma equação quadrática. Este método também foi descoberto por Jerrard em 1852, mas é provável que ele desconhecesse o trabalho prévio de Bring nesta área. A transformação completa pode ser prontamente realizada usando um pacote de álgebra computacional, como o Mathematica ou o Maple. Como seria de esperar da complexidade de tais transformações, as expressões resultantes podem ser imensas, de modo especial quando comparadas com as soluções em radicais para equações de grau inferior, ocupando muitos megabytes de armazenamento para uma quíntica geral com coeficientes simbólicos.
Consideradas como uma função algébrica, as soluções para
envolvem duas variáveis, d1 e d0; todavia, a redução é na verdade para uma função algébrica de uma única variável, muito análoga a uma solução em radicais, visto que podemos reduzir ainda mais a forma de Bring-Jerrard. Se nós, por exemplo, definirmos
então reduzimos a equação para a forma
que envolve z como uma função algébrica de uma única variável , onde . Esta forma é requerida pelo método de Hermite-Kronecker-Brioschi, pelo método de Glasser e pelo método dos resolventes diferenciais de Cockle-Harley descritos abaixo.
Uma forma alternativa é obtida definindo
de modo que
onde . Esta forma é usada para definir o radical de Bring abaixo.
Forma normal de Brioschi Existe outra forma normal de um parâmetro para a equação quíntica, conhecida como forma normal de Brioschi
a qual pode ser derivada utilizando a transformação racional de Tschirnhaus
para relacionar as raízes de uma quíntica geral a uma quíntica de Brioschi. Os valores dos parâmetros e podem ser derivados usando funções poliédricas sobre a esfera de Riemann, e estão relacionados à partição de um objeto de simetria icosaédrica em cinco objetos de simetria tetraédrica.
Esta transformação de Tschirnhaus é um tanto mais simples do que a transformação complexa usada para transformar uma quíntica principal na forma de Bring-Jerrard. Esta forma normal é usada pelo método de iteração de Doyle-McMullen e pelo método de Kiepert.
Representação em série Uma série de Taylor para radicais de Bring, bem como uma representação em termos de funções hipergeométricas, podem ser derivadas como se segue. A equação pode ser reescrita como Ao definir a solução desejada é já que é ímpar.
A série para pode então ser obtida por reversão da série de Taylor para (que é simplesmente ), resultando em
onde os valores absolutos dos coeficientes formam a sequência A002294 na OEIS. O raio de convergência da série é
Na forma hipergeométrica, o radical de Bring pode ser escrito como
Pode ser interessante compará-lo com as funções hipergeométricas que surgem abaixo na derivação de Glasser e no método de resolventes diferenciais.
Solução da quíntica geral As raízes do polinômio
podem ser expressas em termos do radical de Bring como
e os seus quatro conjugados. O problema agora se encontra reduzido à forma de Bring-Jerrard em termos de equações polinomiais solúveis e usando transformações envolvendo expressões polinomiais nas raízes apenas até o quarto grau, o que significa que inverter a transformação pode ser feito encontrando-se as raízes de um polinômio solúvel em radicais. Este procedimento fornece soluções estranhas (falsas), mas quando as corretas forem encontradas por meios numéricos, as raízes da quíntica podem ser escritas em termos de raízes quadradas, raízes cúbicas e do radical de Bring, o que, portanto, constitui uma solução algébrica em termos de funções algébricas (definidas de forma ampla para incluir os radicais de Bring) de uma única variável — uma solução algébrica da quíntica geral.
Outras caracterizações Muitas outras caracterizações do radical de Bring foram desenvolvidas, a primeira das quais foi em termos de "transcendentes elípticas" (relacionadas às funções elípticas e modulares) por Charles Hermite em 1858, e métodos adicionais foram desenvolvidos posteriormente por outros matemáticos.
A caracterização de Hermite-Kronecker-Brioschi Em 1858, Charles Hermite publicou a primeira solução conhecida para a equação quíntica geral em termos de "transcendentes elípticas", e quase na mesma época Francesco Brioschi e Leopold Kronecker chegaram a soluções equivalentes. Hermite chegou a esta solução através da generalização da conhecida solução para a equação cúbica em termos de funções trigonométricas e encontrou a solução para uma quíntica na forma de Bring-Jerrard:
à qual qualquer equação quíntica pode ser reduzida por meio de transformações de Tschirnhaus. Ele observou que as funções elípticas desempenhavam um papel análogo na resolução da quíntica de Bring-Jerrard ao que as funções trigonométricas desempenhavam para a cúbica. Para e escreva-as como as integrais elípticas completas do primeiro tipo:
onde
Defina as duas "transcendentes elípticas": e Estas funções estão relacionadas com as funções teta de Jacobi através de e
Elas podem ser definidas equivalentemente por séries infinitas:Os coeficientes das expansões em série de Fourier são dados da seguinte maneira: Se e , então e onde , , , , , , , , , e as sequências e são -periódicas.
Se n for um número primo, podemos definir dois valores e da seguinte maneira:
e
Quando n for um primo ímpar, os parâmetros e estão vinculados por uma equação de grau n + 1 em ,Quando n = 2, os parâmetros estão vinculados por uma equação de grau 8 em . , conhecida como a equação modular, cujas raízes em são dadas por: p. 126. Observe que se , e se . Existe um erro de digitação na página original: deveria ser .Algumas referências definem e Neste caso, a equação modular é resolvida em em vez de , e possui as raízes e
e
onde é 1 ou −1 dependendo de 2 ser ou não um resíduo quadrático módulo n, respectivamente,De forma equivalente, (pela lei da reciprocidade quadrática). e . Para n = 5, temos a equação modular: A tabela fornece Igualá-la a zero e multiplicar por fornece a equação demonstrada neste artigo.
com seis raízes em como exposto acima.
A equação modular com pode ser relacionada à quíntica de Bring-Jerrard pela seguinte função das seis raízes da equação modular (no artigo de Hermite Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré, o primeiro fator é indicado de forma incorreta como ): p. 135
Alternativamente, a fórmula
é útil para a avaliação numérica de . Segundo Hermite, o coeficiente de na expansão é zero para todo .Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré de Hermite (1859), p. 7
As cinco grandezas , , , , são as raízes de uma equação quíntica com coeficientes racionais em : p. 136
que pode ser prontamente convertida para a forma de Bring-Jerrard através da substituição:
levando à quíntica de Bring-Jerrard:
onde
O método de Hermite-Kronecker-Brioschi resume-se então a achar um valor para que corresponda ao valor de , e depois usar este valor de para obter as raízes da equação modular correspondente. Nós podemos utilizar algoritmos de busca de raízes para encontrar a partir da equação (ou seja, calcular uma inversa parcial de ). Elevar (*) ao quadrado produz uma quártica baseada unicamente em (usando ). Toda solução (em ) de (*) é uma solução da quártica, porém nem toda solução da quártica é uma solução de (*).
As raízes da quíntica de Bring-Jerrard são então dadas por:
para .
Uma abordagem "integral" alternativa é a seguinte:
Considere onde Então
é uma solução de
onde
As raízes da equação são:
onde (note que algumas referências importantes apresentam isso erroneamente como ). Qualquer uma destas raízes pode ser usada como o módulo elíptico .
As raízes da quíntica de Bring-Jerrard são então dadas por:
para .
Pode-se observar que este processo utiliza uma generalização da raiz n-ésima, a qual pode ser expressa como:
ou, de forma mais exata, como
O método de Hermite-Kronecker-Brioschi essencialmente substitui a exponencial por uma "transcendente elíptica", e a integral (ou a inversa de na reta real) por uma integral elíptica (ou por uma inversa parcial de uma "transcendente elíptica"). Kronecker pensou que essa generalização era um caso especial de um teorema ainda mais amplo, que seria aplicável a equações de grau arbitrariamente alto. Este teorema, conhecido como a Fórmula de Thomae, foi plenamente expresso por Hiroshi Umemura em 1984, o qual utilizou formas modulares de Siegel no lugar de transcendentes exponenciais/elípticas, e substituiu a integral por uma integral hiperelíptica.
Derivação de Glasser Esta derivação devida a M. Lawrence Glasser generaliza o método em série apresentado anteriormente neste artigo para encontrar uma solução para qualquer equação trinomial da forma:
Em particular, a equação quíntica pode ser reduzida a esta forma pelo uso das transformações de Tschirnhaus conforme demonstrado acima. Fazendo com que , a forma geral torna-se:
onde