direita|miniaturadaimagem|150x150px|Um tetraedro regular, um exemplo de um sólido com simetria tetraédrica completa Um tetraedro regular tem 12 simetrias rotacionais (ou que preservam a orientação), e uma ordem de simetria de 24 incluindo transformações que combinam uma reflexão e uma rotação.
O grupo de todas as simetrias (não necessariamente que preservam a orientação) é isomorfo ao grupo S4, o grupo simétrico de permutações de quatro objetos, visto que existe exatamente uma dessas simetrias para cada permutação dos vértices do tetraedro. O conjunto de simetrias que preservam a orientação forma um grupo referido como o subgrupo alternante A4 de S4.
Detalhes A simetria tetraédrica quiral e a completa (ou simetria tetraédrica aquiral e simetria piritoédrica) são simetrias de ponto discretas (ou de modo equivalente, simetrias na esfera). Elas estão entre os grupos de pontos cristalográficos do sistema cristalino cúbico. +Eixos de rotaçãoC3 12x12pxC3 12x12pxC2 15x15px223 Vistas em projeção estereográfica, as arestas do hexaedro tetraquis formam 6 círculos (ou linhas radiais centralmente) no plano. Cada um destes 6 círculos representa uma linha de espelho na simetria tetraédrica. A interseção destes círculos encontra-se em pontos de rotação de ordem 2 e 3. OrtogonalProjeções estereográficas4-dobras3-dobras2-dobrasSimetria tetraédrica quiral, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], = 150x150px150x150px150x150px150x150pxSimetria piritoédrica, Th, (3*2), [4,3+], 151x151px150x150px150x150px150x150pxSimetria tetraédrica aquiral, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], = 150x150px150x150px150x150px150x150px
Simetria tetraédrica quiral 150x150px O grupo de rotação tetraédrica T com domínio fundamental; para o tetraedro triakis, veja abaixo, sendo este último uma face completa204x204px Um tetraedro pode ser colocado em 12 posições distintas apenas por rotação. Estas são ilustradas acima no formato de grafo de ciclo, juntamente com as rotações de 180° das arestas (setas azuis) e de 120° dos vértices (setas avermelhadas) que permutam o tetraedro através daquelas posições.150x150px No hexaedro tetraquis uma face completa é um domínio fundamental; outros sólidos com a mesma simetria podem ser obtidos ajustando-se a orientação das faces, por exemplo, achatando subconjuntos selecionados de faces para combinar cada subconjunto em uma face, ou substituindo cada face por múltiplas faces, ou por uma superfície curva. T, 332, [3,3]+, ou 23, de ordem 12 – simetria tetraédrica quiral ou rotacional. Existem três eixos de rotação ortogonais de 2 dobras, como na simetria diedral quiral D2 ou 222, com adicionalmente quatro eixos de 3 dobras, centralizados entre as três direções ortogonais. Este grupo é isomorfo a A4, o grupo alternante sobre 4 elementos; de fato, é o grupo das permutações pares dos quatro eixos de 3 dobras: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).
As classes de conjugação de T são:
identidade 4 × rotação de 120° no sentido horário (vista de um vértice): (234), (143), (412), (321) 4 × rotação de 120° no sentido anti-horário (idem) 3 × rotação de 180°
As rotações de 180°, juntamente com a identidade, formam um subgrupo normal do tipo Dih2, com grupo quociente do tipo Z3. Os três elementos deste último são a identidade, a "rotação no sentido horário" e a "rotação no sentido anti-horário", correspondendo às permutações dos três eixos ortogonais de 2 dobras, preservando a orientação.
A4 é o menor grupo que demonstra que o inverso do teorema de Lagrange não é verdadeiro em geral: dado um grupo finito G e um divisor d de |G|, não existe necessariamente um subgrupo de G com ordem d: o grupo não possui subgrupo de ordem 6. Embora seja uma propriedade para o grupo abstrato em geral, fica claro a partir do grupo de isometria da simetria tetraédrica quiral: devido à quiralidade, o subgrupo teria de ser C6 ou D3, mas nenhum se aplica.
Subgrupos da simetria tetraédrica quiral miniaturadaimagem|Subgrupos da simetria tetraédrica quiral Schoe.CoxeterOrb.H-MGeradoresEstruturaCicloOrdemÍndiceT[3,3]+ = 332232A425x25px121D2[2,2]+ = 2222223D425x25px43C3+3331Z325x25px34C2+2221Z225x25px26C1[ ]+1111Z125x25px112
Simetria tetraédrica aquiral direita|miniaturadaimagem|150x150px|O grupo tetraédrico completo Td com domínio fundamental Td, *332, [3,3] ou 3m, de ordem 24 – simetria tetraédrica aquiral ou completa, também conhecida como o grupo do triângulo (2,3,3). Este grupo possui os mesmos eixos de rotação que T, mas com seis planos de espelho, cada um passando por dois eixos de 3 dobras. Os eixos de 2 dobras são agora eixos S4 (). Td e O são isomorfos como grupos abstratos: ambos correspondem a S4, o grupo simétrico em 4 objetos. Td é a união de T e do conjunto obtido combinando cada elemento de com inversão. Veja também as isometrias do tetraedro regular.
As classes de conjugação de Td são:
identidade 8 × rotação de 120° (C3) 3 × rotação de 180° (C2) 6 × reflexão num plano que passa por dois eixos de rotação (Cs) 6 × rotorreflexão de 90° (S4)
Subgrupos da simetria tetraédrica aquiral miniaturadaimagem|280x280px|Subgrupos tetraédricos aquirais Schoe.CoxeterOrb.H-MGeradoresEstruturaCicloOrdemÍndiceTd[3,3]*3323m3S428x28px241C3v*333m2D6=S325x25px64C2v*22mm22D425x25px46Cs[ ]* ou m1Z2 = D225x25px212D2d[2+,4]2*22m2D825x25px83S4[2+,4+]2×1Z425x25px46T[3,3]+332232A425x25px122D2[2,2]+2222222D425x25px46C3+3331Z3 = A325x25px38C2+2221Z225x25px212C1[ ]+1111Z125x25px124
Simetria piritoédrica miniaturadaimagem|151x151px|O grupo piritoédrico Th com domínio fundamental miniaturadaimagem|150x150px|As costuras de uma bola de vôlei têm simetria piritoédrica Th, 3*2, [4,3+] ou m, de ordem 24 – simetria piritoédrica. Este grupo possui os mesmos eixos de rotação que T, com planos de espelho que passam por duas das direções ortogonais. Os eixos de 3 dobras são agora eixos de simetria diedral S6 (), e existe uma simetria de inversão central. Th é isomorfo a : cada elemento de Th é ou um elemento de T, ou um combinado com a inversão. Além destes dois subgrupos normais, existe também um subgrupo normal D2h (o de um cuboide), do tipo . É o produto direto do subgrupo normal de T (veja acima) com Ci. O grupo quociente é o mesmo de cima: do tipo Z3. Os três elementos deste último são a identidade, a "rotação no sentido horário" e a "rotação no sentido anti-horário", correspondendo a permutações dos três eixos ortogonais de 2 dobras, preservando a orientação.
Trata-se da simetria de um cubo com, em cada face, um segmento de reta que divide a face em dois retângulos iguais, de modo que os segmentos de reta de faces adjacentes não se encontrem na aresta. As simetrias correspondem às permutações pares das diagonais do corpo e as mesmas combinadas com a inversão. É também a simetria de um piritoedro, o qual é extremamente similar ao cubo descrito, com cada retângulo substituído por um pentágono com um eixo de simetria e 4 lados iguais e 1 lado diferente (aquele que corresponde ao segmento de reta que divide a face do cubo); isto é, as faces do cubo dilatam-se na linha divisória e tornam-se mais estreitas lá. É um subgrupo do grupo de simetria icosaédrica completo (como grupo de isometria, não apenas como grupo abstrato), com 4 dos 10 eixos de 3 dobras.
As classes de conjugação de Th incluem as de T, com as duas classes de 4 combinadas, e cada uma com inversão:
identidade 8 × rotação de 120° (C3) 3 × rotação de 180° (C2) inversão (S2) 8 × rotorreflexão de 60° (S6) 3 × reflexão num plano (Cs)
Subgrupos da simetria piritoédrica miniaturadaimagem|338x338px|Subgrupos piritoédricos Schoe.CoxeterOrb.H-MGeradoresEstruturaCicloOrdemÍndiceTh[3+,4]3*2m2A4 ×Z225x25px241D2h[2,2]*222mmm3D4×D225x25px83C2v*22mm22D425x25px46Cs[ ]* ou m1D225x25px212C2h[2+,2]2*2/m2Z2×D225x25px46S2[2+,2+]×1Z225x25px212T[3,3]+332232A425x25px122D3[2,3]+32232D625x25px64D2[2,2]+2222223D825x25px46C3+3331Z325x25px38C2+2221Z225x25px212C1[ ]+1111Z125x25px124
Sólidos com simetria tetraédrica quiral 100x100px O Icosaedro colorido como um tetraedro snub tem simetria quiral.
Sólidos com simetria tetraédrica completa ClasseNomeImagemFacesArestasVérticesSólido platónicoTetraedro40x40px|Tetraedro464Sólido arquimedianoTetraedro truncado40x40px|Tetraedro truncado81812Sólido de CatalanTetraedro triakis45x45px|Tetraedro triakis12188Sólido quase de JohnsonTetraedro triakis truncado40x40px164228Dodecaedro tetrado40x40px285428Poliedro estrelado uniformeTetra-hemi-hexaedro40x40px7126
Ver também
Simetria octaédrica Simetria icosaédrica Grupo tetraédrico binário
Citações
Referências
Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Capítulo 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups
Ligações externas