Função de uma variável real

Na análise matemática, e aplicações na geometria, matemática aplicada, engenharia e ciências naturais, uma função de uma variável real é uma função cujo domínio são os números reais , ou um subconjunto de que contém um intervalo de comprimento positivo. A maioria das funções reais que são consideradas e estudadas são diferenciáveis em algum intervalo. As funções desse tipo mais amplamente consideradas são as funções reais, que são as funções de valor real de uma variável real, ou seja, as funções de uma variável real cujo contradomínio é o conjunto dos números reais.

No entanto, o contradomínio de uma função de uma variável real pode ser qualquer conjunto. Contudo, frequentemente assume-se que tem uma estrutura de espaço vetorial sobre . Isto é, o contradomínio pode ser um espaço euclidiano, um vetor de coordenadas, o conjunto de matrizes de números reais de um dado tamanho, ou uma álgebra sobre , como os números complexos ou os quaterniões. A estrutura de espaço vetorial sobre do contradomínio induz uma estrutura de espaço vetorial sobre nas funções. Se o contradomínio tem uma estrutura de álgebra sobre , o mesmo é verdade para as funções.

A imagem de uma função de uma variável real é uma curva no contradomínio. Neste contexto, uma função que define uma curva é chamada de equação paramétrica da curva.

Quando o contradomínio de uma função de uma variável real é um espaço vetorial de dimensão finita, a função pode ser vista como uma sequência de funções reais. Isso é frequentemente usado em aplicações.

Função real thumb|O gráfico de uma função real Uma função real é uma função de um subconjunto de em onde denota, como de costume, o conjunto dos números reais. Ou seja, o domínio de uma função real é um subconjunto de , e seu contradomínio é Geralmente assume-se que o domínio contém um intervalo de comprimento positivo.

Exemplos básicos

Para muitas funções reais comumente usadas, o domínio é todo o conjunto dos números reais, e a função é contínua e diferenciável em todos os pontos do domínio. Diz-se que essas funções são definidas, contínuas e diferenciáveis em toda parte. Este é o caso de: Todas as funções polinomiais, incluindo funções constantes e funções lineares Funções seno e cosseno Função exponencial

Algumas funções são definidas em toda parte, mas não são contínuas em alguns pontos. Por exemplo: A função degrau de Heaviside é definida em toda parte, mas não é contínua no zero.

Algumas funções são definidas e contínuas em toda parte, mas não são diferenciáveis em toda parte. Por exemplo: O valor absoluto é definido e contínuo em toda parte, e é diferenciável em toda parte, exceto no zero. A raiz cúbica é definida e contínua em toda parte, e é diferenciável em toda parte, exceto no zero.

Muitas funções comuns não são definidas em toda parte, mas são contínuas e diferenciáveis em todos os lugares onde estão definidas. Por exemplo: Uma função racional é um quociente de duas funções polinomiais, e não é definida nos zeros do denominador. A função tangente não é definida para onde é qualquer número inteiro. A função logarítmica é definida apenas para valores positivos da variável.

Algumas funções são contínuas em todo o seu domínio e não diferenciáveis em alguns pontos. Este é o caso da: A raiz quadrada é definida apenas para valores não negativos da variável e não é diferenciável em 0 (é diferenciável para todos os valores positivos da variável).

Definição geral

Uma função de valor real de uma variável real é uma função que recebe como entrada um número real, comumente representado pela variável x, para produzir outro número real, o valor da função, comumente denotado por f(x). Para simplificar, neste artigo, uma função de valor real de uma variável real será chamada simplesmente de função. Para evitar qualquer ambiguidade, os outros tipos de funções que podem ocorrer serão especificados explicitamente.

Algumas funções são definidas para todos os valores reais das variáveis (diz-se que são definidas em toda parte), mas algumas outras funções são definidas apenas se o valor da variável for tomado em um subconjunto X de , o domínio da função, que é sempre suposto conter um intervalo de comprimento positivo. Em outras palavras, uma função de valor real de uma variável real é uma função

tal que seu domínio X é um subconjunto de que contém um intervalo de comprimento positivo.

Um exemplo simples de uma função de uma variável poderia ser:

que é a raiz quadrada de x.

Imagem

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de quando a variável x percorre todo o domínio de . Para uma função contínua de valor real com um domínio conexo, a imagem é um intervalo ou um valor único. Neste último caso, a função é uma função constante.

A pré-imagem (ou imagem inversa) de um dado número real y é o conjunto das soluções da equação .

Domínio

O domínio de uma função de várias variáveis reais é um subconjunto de que às vezes é definido explicitamente. De fato, se restringirmos o domínio X de uma função f a um subconjunto Y ⊂ X, obteremos formalmente uma função diferente, a restrição de f a Y, que é denotada por f|Y. Na prática, muitas vezes não é prejudicial identificar f e f|Y, e omitir o subscrito |Y.

Por outro lado, às vezes é possível ampliar naturalmente o domínio de uma determinada função, por exemplo, por continuidade ou por continuação analítica. Isso significa que não vale a pena definir explicitamente o domínio de uma função de uma variável real.

Estrutura algébrica

As operações aritméticas podem ser aplicadas às funções da seguinte forma: Para todo número real r, a função constante é definida em toda parte. Para todo número real r e toda função f, a função tem o mesmo domínio que f (ou é definida em toda parte se r = 0). Se f e g são duas funções com respectivos domínios X e Y tais que contém um subconjunto aberto de , então e são funções que possuem um domínio contendo .

Segue-se que as funções de n variáveis que são definidas em toda parte e as funções de n variáveis que são definidas em alguma vizinhança de um dado ponto formam álgebras comutativas sobre os reais (álgebras sobre ).

Pode-se definir de forma semelhante que é uma função apenas se o conjunto dos pontos no domínio de f tal que contém um subconjunto aberto de . Essa restrição implica que as duas álgebras acima não são corpos.

Continuidade e limite thumb|Limite de uma função real de uma variável real. Até a segunda metade do século XIX, apenas funções contínuas eram consideradas pelos matemáticos. Naquela época, a noção de continuidade foi elaborada para as funções de uma ou várias variáveis reais muito tempo antes da definição formal de um espaço topológico e um mapa contínuo entre espaços topológicos. Como as funções contínuas de uma variável real são onipresentes na matemática, vale a pena definir essa noção sem referência à noção geral de mapas contínuos entre espaços topológicos.

Para definir a continuidade, é útil considerar a função distância de , que é uma função de 2 variáveis reais definida em toda parte:

Uma função f é contínua em um ponto que é interior ao seu domínio, se, para todo número real positivo , existe um número real positivo tal que para todo tal que Em outras palavras, pode ser escolhido pequeno o suficiente para ter a imagem por f do intervalo de raio centrado em contido no intervalo de comprimento centrado em Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

O limite de uma função de valor real de uma variável real é definido da seguinte forma. Seja a um ponto no fecho topológico do domínio X da função f. A função f tem um limite L quando x tende a a, denotado por

se a seguinte condição for satisfeita: Para todo número real positivo ε > 0, existe um número real positivo δ > 0 tal que

para todo x no domínio tal que

Se o limite existe, ele é único. Se a está no interior do domínio, o limite existe se e somente se a função for contínua em a. Neste caso, temos

Quando a está na fronteira do domínio de f, e se f tem um limite em a, a última fórmula permite "estender por continuidade" o domínio de f para a.

Cálculo

Pode-se agrupar um número de funções, cada uma de uma variável real, digamos

em um vetor parametrizado por x:

A derivada do vetor y é o vetor das derivadas de fi(x) para i = 1, 2, ..., n:

Também é possível calcular integrais de linha ao longo de uma curva no espaço parametrizada por x, com vetor posição r = r(x), integrando em relação à variável x:

onde · é o produto escalar, e x = a e x = b são os pontos inicial e final da curva.

Teoremas

Com as definições de integração e derivadas, teoremas fundamentais podem ser formulados, incluindo o teorema fundamental do cálculo, a integração por partes e o teorema de Taylor. A avaliação de uma mistura de integrais e derivadas pode ser feita usando o teorema de diferenciação sob o sinal de integração.

Funções implícitas

Uma função implícita de valor real de uma variável real não é escrita na forma "y = f(x)". Em vez disso, o mapeamento é do espaço 2 para o elemento zero em (apenas o zero ordinário 0):

e

é uma equação nas variáveis. As funções implícitas são uma forma mais geral de representar funções, já que se:

então sempre podemos definir:

mas o inverso nem sempre é possível, ou seja, nem todas as funções implícitas têm a forma desta equação.

Curvas espaciais unidimensionais em n

200px|thumb|Curva espacial em 3D. O vetor posição r é parametrizado por um escalar t. Em r = a, a linha vermelha é a tangente à curva, e o plano azul é normal à curva.

Formulação

Dadas as funções , , ..., todas de uma variável comum t, de modo que:

ou tomadas em conjunto:

então a n-tupla parametrizada,

descreve uma curva no espaço unidimensional.

Reta tangente à curva

Em um ponto para alguma constante t = c, as equações da reta tangente unidimensional à curva naquele ponto são dadas em termos das derivadas ordinárias de r1(t), r2(t), ..., rn(t), e r em relação a t:

Plano normal à curva

A equação do hiperplano de dimensão n normal à reta tangente em r = a é:

ou em termos do produto escalar:

onde são pontos no plano, não na curva espacial.

Relação com a cinemática

thumb|300px|Quantidades cinemáticas de uma partícula clássica: massa m, posição r, velocidade v, aceleração a.

A interpretação física e geométrica de dr(t)/dt é a "velocidade" de uma partícula pontual movendo-se ao longo do caminho r(t), tratando r como as coordenadas do vetor posição espacial parametrizadas pelo tempo t, e é um vetor tangente à curva espacial para todo t na direção instantânea do movimento. Em t = c, a curva espacial tem um vetor tangente , e o hiperplano normal à curva espacial em t = c também é normal à tangente em t = c. Qualquer vetor neste plano (p − a) deve ser normal a .

De forma similar, d2r(t)/dt2 é a "aceleração" da partícula, e é um vetor normal à curva direcionado ao longo do raio de curvatura.

Funções de valor matricial

Uma matriz também pode ser uma função de uma única variável. Por exemplo, a matriz de rotação em 2D:

é uma função de valor matricial do ângulo de rotação em torno da origem. Da mesma forma, na relatividade restrita, a matriz de transformação de Lorentz para um *boost* puro (sem rotações):

é uma função do parâmetro de *boost* β = v/c, em que v é a velocidade relativa entre os referenciais (uma variável contínua), e c é a velocidade da luz, uma constante.

Espaços de Banach e Hilbert e mecânica quântica Generalizando a seção anterior, a saída de uma função de uma variável real também pode residir em um espaço de Banach ou em um espaço de Hilbert. Nesses espaços, a divisão, a multiplicação e os limites estão todos definidos, de modo que noções como derivada e integral ainda se aplicam. Isso ocorre com especial frequência na mecânica quântica, onde se calcula a derivada de um ket ou de um operador. Isso ocorre, por exemplo, na equação de Schrödinger geral dependente do tempo: