thumb|direita|233px|Gráfico de um polinômio de grau 7, com 7 raízes reais (cruzamentos do eixo ) e 6 pontos críticos. Dependendo do número e da localização vertical dos mínimos e máximos, a equação séptica pode ter 7, 5, 3 ou 1 raiz real contada com sua multiplicidade; o número de raízes complexas não reais é 7 menos o número de raízes reais.

Na álgebra, uma equação séptica é uma equação da forma

onde .

Uma função séptica é uma função da forma

onde . Em outras palavras, é um polinômio de grau sete. Se , então f é uma função sêxtica (), função quíntica (), etc.

A equação pode ser obtida a partir da função definindo .

Os coeficientes podem ser inteiros, racionais, reais, complexos ou, mais genericamente, membros de qualquer corpo ou anel.

Por terem um grau ímpar, as funções sépticas parecem semelhantes às funções quínticas e cúbicas quando representadas em um gráfico, exceto pelo fato de que podem possuir máximos locais e mínimos locais adicionais (até três máximos e três mínimos). A derivada de uma função séptica é uma função sêxtica, exceto possivelmente quando a característica do anel que contém os coeficientes for divisível por 7.

Sépticas solúveis Algumas equações de sétimo grau podem ser resolvidas fatorando-as em radicais, mas outras equações sépticas não podem. Évariste Galois desenvolveu técnicas para determinar se uma dada equação poderia ser resolvida por radicais, o que deu origem ao campo da teoria de Galois. Para dar um exemplo de uma equação séptica irredutível mas solúvel, pode-se generalizar a quíntica solúvel de de Moivre para obter, ,

onde a equação auxiliar é .

Isso significa que a equação séptica é obtida eliminando e entre , e .

Segue-se que as sete raízes da equação séptica são dadas por

onde é qualquer uma das 7 sétimas raízes da unidade. O grupo de Galois desta equação séptica é o grupo solúvel máximo de ordem 42. Isso é facilmente generalizado para quaisquer outros graus , não necessariamente primos.

Outra família solúvel é,

cujos membros aparecem na Base de Dados de Corpos de Números de Kluner. Seu discriminante é

O grupo de Galois destas equações sépticas é o grupo diedral de ordem 14.

A equação séptica geral pode ser resolvida com os grupos de Galois alternante ou simétrico ou . Tais equações requerem funções hiperelípticas e funções teta associadas de gênero 3 para sua solução. No entanto, essas equações não foram estudadas especificamente pelos matemáticos do século XIX que estudavam as soluções de equações algébricas, porque as soluções das equações sêxticas já estavam nos limites de suas capacidades computacionais sem o uso de computadores.

As equações sépticas são as equações de menor ordem para as quais não é óbvio que suas soluções possam ser obtidas pela composição de funções contínuas de duas variáveis. O décimo terceiro problema de Hilbert era a conjectura de que isso não seria possível no caso geral para equações de sétimo grau. Vladimir Arnold resolveu isso em 1957, demonstrando que isso era sempre possível. No entanto, o próprio Arnold considerava que o verdadeiro problema de Hilbert era saber se, para as equações sépticas, suas soluções poderiam ser obtidas pela superposição de funções algébricas de duas variáveis. Até 2023, o problema ainda estava em aberto.

Grupos de Galois thumb|Plano de Fano Existem sete grupos de Galois para equações sépticas:A Database for Number Fields Equações sépticas solúveis por radicais têm um grupo de Galois que é o grupo cíclico de ordem 7, ou o grupo diedral de ordem 14, ou um grupo metacíclico de ordem 21 ou 42. O grupo de Galois (de ordem 168) é formado pelas permutações dos rótulos dos 7 vértices que preservam as 7 "linhas" no plano de Fano. Equações sépticas com este grupo de Galois exigem funções elípticas, mas não funções hiperelípticas para sua solução. Caso contrário, o grupo de Galois de uma equação séptica é o grupo alternante de ordem ou o grupo simétrico de ordem

Equação séptica para o quadrado da área de um pentágono ou hexágono cíclico

O quadrado da área de um pentágono cíclico é a raiz de uma equação séptica cujos coeficientes são funções simétricas dos lados do pentágono.Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. O mesmo se aplica ao quadrado da área de um hexágono cíclico.Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Ver também Função cúbica Função quártica Função quíntica Equação sêxtica Séptica de Labs

Referências

Categoria:Equações Categoria:Teoria de Galois Categoria:Polinómios