Uma solução em radicais ou solução algébrica é uma expressão de uma solução de uma equação polinomial que é algébrica, ou seja, depende apenas de adição, subtração, multiplicação, divisão, elevação a potências inteiras e extração de raízes -ésimas (raízes quadradas, raízes cúbicas, etc.).
Um exemplo bem conhecido é a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara)
que expressa as soluções da equação quadrática
Existem soluções algébricas para equações cúbicasNickalls, R. W. D., "A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed," Mathematical Gazette 77, Novembro de 1993, 354-359. e equações quárticas,Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30. que são mais complicadas que a fórmula quadrática. O teorema de Abel-Ruffini,Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, e, mais geralmente a teoria de Galois, afirmam que algumas equações quínticas, como
não possuem nenhuma solução algébrica. O mesmo é verdade para qualquer grau superior. No entanto, para qualquer grau, existem algumas equações polinomiais que têm soluções algébricas; por exemplo, a equação pode ser resolvida como As outras oito soluções são números complexos não reais, que também são algébricos e têm a forma onde é uma quinta raiz da unidade, que pode ser expressa com duas raízes quadradas aninhadas. Veja também Outras quínticas solúveis para vários outros exemplos de grau 5.
Évariste Galois introduziu um critério que permite decidir quais equações são solúveis em radicais. Veja Extensão radical para a formulação precisa do seu resultado.
Ver também Símbolo de radical Quínticas solúveis Sêxticas solúveis Sépticas solúveis
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