thumb|220x124px | right | alt= Imagem de Nathan Jacobson olhando fora da câmera em posição sentada | Nathan Jacobson Em matemática, mais especificamente na teoria dos anéis, o radical de Jacobson de um anel é o ideal que consiste naqueles elementos em que anulam todos os -módulos à direita simples. Acontece que substituir "esquerda" por "direita" na definição produz o mesmo ideal, e assim a noção é simétrica em relação à esquerda-direita. O radical de Jacobson de um anel é frequentemente denotado por (ou a variante ), (ou variantes como ou ), ou ; a primeira notação será preferida neste artigo para evitar confusões com outros radicais de um anel ou um ideal maximal. O radical de Jacobson recebe esse nome em homenagem a Nathan Jacobson, que foi o primeiro a estudá-lo para anéis arbitrários em .

O radical de Jacobson de um anel possui inúmeras caracterizações internas, incluindo algumas definições que estendem com sucesso a noção para anéis sem unidade. O radical de um módulo estende a definição do radical de Jacobson para incluir módulos. O radical de Jacobson desempenha um papel proeminente em muitos resultados teóricos de anéis e módulos, como o Lema de Nakayama.

Definições Existem múltiplas definições e caracterizações equivalentes do radical de Jacobson, mas é útil considerar as definições com base no fato de o anel ser comutativo ou não.

Caso comutativo No caso comutativo, o radical de Jacobson de um anel comutativo R é definido como a interseção de todos os ideais maximais . Se denotarmos por o conjunto de todos os ideais maximais em R, entãoEsta definição pode ser usada para cálculos explícitos em uma série de casos simples, como em anéis locais , que possuem um único ideal maximal, anéis artinianos e produtos destes. Veja a seção de exemplos para cálculos explícitos.

Nota sobre terminologia potencialmente confusa O radical de Jacobson de um ideal é definido como a interseção dos ideais maximais de R que contêm o ideal I:Assim, o radical de Jacobson do anel, refere-se à mesma coisa que o radical de Jacobson do ideal nulo (0) de R, . Isso é análogo à relação entre as definições do radical de um ideal (às vezes também chamado de nilradical de I), , e o nilradical do anel R, .

Caso não comutativo/geral Para um anel geral com unidade , o radical de Jacobson é definido como o ideal de todos os elementos tais que sempre que é um -módulo simples. Isto é,

Isso é equivalente à definição no caso comutativo para um anel comutativo , porque os módulos simples sobre um anel comutativo são da forma para algum ideal maximal , e os anuladores de em são precisamente os elementos de , ou seja, .

Motivação O entendimento do radical de Jacobson reside em alguns casos diferentes: nomeadamente em suas aplicações e nas interpretações geométricas resultantes, e em suas interpretações algébricas.

Aplicações geométricas

Embora Jacobson tenha introduzido originalmente seu radical como uma técnica para construir uma teoria de radicais para anéis arbitrários, uma das razões motivadoras pelas quais o radical de Jacobson é considerado no caso comutativo é o seu aparecimento no Lema de Nakayama. Este lema é uma ferramenta técnica para estudar módulos finitamente gerados sobre anéis comutativos que possui uma interpretação geométrica fácil: Se tivermos um fibrado vetorial sobre um espaço topológico X, e escolhermos um ponto , então qualquer base de E|p pode ser estendida para uma base de seções de para alguma vizinhança .

Outra aplicação ocorre no caso de anéis comutativos finitamente gerados da forma para algum anel base k (como um corpo, ou o anel dos inteiros). Neste caso, o nilradical e o radical de Jacobson coincidem. Isso significa que poderíamos interpretar o radical de Jacobson como uma medida de quão distante o ideal I que define o anel R está de definir o anel de funções sobre uma variedade algébrica devido ao teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz). Isso ocorre porque as variedades algébricas não podem ter um anel de funções com infinitesimais: essa é uma estrutura que só é considerada na teoria de esquemas.

Caracterizações equivalentes O radical de Jacobson de um anel possui várias caracterizações internas e externas. As seguintes equivalências aparecem em muitos textos de álgebra não comutativa, como , e .

As seguintes são caracterizações equivalentes do radical de Jacobson em anéis com unidade (caracterizações para anéis sem unidade são dadas logo a seguir):

J(R) é igual à interseção de todos os ideais maximais à direita do anel. A equivalência vem do fato de que para todos os ideais maximais à direita M, é um R-módulo à direita simples, e que de fato todos os R-módulos à direita simples são isomorfos a um deste tipo através do mapa de R para S dado por para qualquer gerador x de S. Também é verdade que J(R) é igual à interseção de todos os ideais maximais à esquerda dentro do anel. Estas caracterizações são internas ao anel, pois só é necessário encontrar os ideais maximais à direita do anel. Por exemplo, se um anel for local e possuir um único ideal maximal à direita, então este único ideal maximal à direita é exatamente J(R). Ideais maximais são, em certo sentido, mais fáceis de procurar do que anuladores de módulos. Esta caracterização é deficiente, no entanto, porque não se mostra útil ao trabalhar computacionalmente com J(R). A simetria esquerda-direita dessas duas definições é notável e tem várias consequências interessantes. Essa simetria contrasta com a falta de simetria nos soclos de R, pois pode acontecer que soc(RR) não seja igual a soc(RR). Se R for um anel não comutativo, J(R) não é necessariamente igual à interseção de todos os ideais maximais bilaterais de R. Por exemplo, se V for uma soma direta enumerável de cópias de um corpo k e (o anel de endomorfismos de V como um k-módulo), então porque sabe-se que R é regular de von Neumann, mas existe exatamente um ideal maximal bilateral em R que consiste em endomorfismos com imagem de dimensão finita. J(R) é igual à soma de todos os ideais à direita supérfluos (ou simetricamente, a soma de todos os ideais à esquerda supérfluos) de R. Comparando isso com a definição anterior, a soma de ideais à direita supérfluos é igual à interseção de ideais maximais à direita. Esse fenômeno reflete-se dualmente para o soclo à direita de R; soc(RR) é simultaneamente a soma dos ideais minimais à direita e a interseção dos ideais à direita essenciais. Na verdade, essas duas relações valem para radicais e soclos de módulos em geral. Como definido na introdução, J(R) é igual à interseção de todos os anuladores de R-módulos à direita simples, no entanto, também é verdade que é a interseção de anuladores de módulos à esquerda simples. Um ideal que é o anulador de um módulo simples é conhecido como um ideal primitivo, e portanto, uma reformulação disto afirma que o radical de Jacobson é a interseção de todos os ideais primitivos. Esta caracterização é útil no estudo de módulos sobre anéis. Por exemplo, se U é um R-módulo à direita, e V é um submódulo maximal de U, está contido em V, onde denota todos os produtos de elementos de J(R) (os "escalares") com elementos em U, à direita. Isso decorre do fato de que o módulo quociente é simples e, portanto, anulado por J(R). J(R) é o único ideal à direita de R maximal com a propriedade de que todo elemento é quasirregular à direita (ou equivalentemente quasirregular à esquerda). Esta caracterização do radical de Jacobson é útil tanto computacionalmente quanto para auxiliar a intuição. Além disso, essa caracterização é útil no estudo de módulos sobre um anel. O Lema de Nakayama é talvez a instância mais conhecida disto. Embora todo elemento de J(R) seja necessariamente quasirregular, nem todo elemento quasirregular é necessariamente um membro de J(R). Embora nem todo elemento quasirregular esteja em J(R), pode-se mostrar que y está em J(R) se e somente se xy for quasirregular à esquerda para todo x em R. J(R) é o conjunto de elementos x em R tais que todo elemento de é uma unidade: }. De fato, está no radical de Jacobson se e somente se for invertível para qualquer , se e somente se for invertível para qualquer . Isso significa que xy e yx se comportam de forma semelhante a um elemento nilpotente z com e .

Para anéis sem unidade é possível ter ; no entanto, a equação } ainda é válida. As seguintes são caracterizações equivalentes de J(R) para anéis sem unidade: A noção de quasirregularidade à esquerda pode ser generalizada da seguinte forma. Chame um elemento a em R de quasirregular generalizado à esquerda se existir c em R tal que . Então J(R) consiste em cada elemento a para o qual ra é quasirregular generalizado à esquerda para todo r em R. Pode ser verificado que esta definição coincide com a definição quasirregular anterior para anéis com unidade. Para um anel sem unidade, a definição de um módulo à esquerda simples M é alterada adicionando a condição de que . Com esse entendimento, J(R) pode ser definido como a interseção de todos os anuladores de R-módulos à esquerda simples, ou apenas R se não existirem R-módulos à esquerda simples. Anéis sem unidade sem módulos simples de fato existem, caso em que , e o anel é chamado de anel radical. Ao usar a caracterização quasirregular generalizada do radical, fica claro que se encontrarmos um anel com J(R) diferente de zero, então J(R) é um anel radical quando considerado como um anel sem unidade.

Exemplos

Exemplos comutativos Para o anel dos inteiros Z, seu radical de Jacobson é o ideal nulo, de modo que , porque é dado pela interseção de todo ideal gerado por um número primo (p). Uma vez que , e estamos tomando uma interseção infinita sem elementos comuns além de 0 entre todos os ideais maximais, temos esse resultado. Para um anel local o radical de Jacobson é simplesmente . Este é um caso importante devido ao seu uso na aplicação do Lema de Nakayama. Em particular, isso implica que se tivermos um fibrado vetorial algébrico sobre um esquema ou variedade algébrica X, e fixarmos uma base de E|p para algum ponto , então essa base se eleva a um conjunto de geradores para todas as seções para alguma vizinhança U de p. Se k é um corpo e é um anel de séries de potências formais, então J(R) consiste naquelas séries de potências cujo termo constante é zero, isto é, as séries de potências no ideal . No caso de anéis artinianos, como , o radical de Jacobson é . O exemplo anterior pode ser estendido para o anel , dando . O radical de Jacobson do anel Z/12Z é 6Z/12Z, que é a interseção dos ideais maximais 2Z/12Z e 3Z/12Z. Considere o anel , onde a segunda parte é a localização de pelo ideal primo . Então, o radical de Jacobson é trivial porque os ideais maximais são gerados por um elemento da forma para .

Exemplos não comutativos Anéis para os quais J(R) é {0} são chamados de anéis semiprimitivos, ou às vezes "anéis semissimples de Jacobson". O radical de Jacobson de qualquer corpo, de qualquer anel regular de von Neumann e de qualquer anel primitivo à esquerda ou à direita é {0}. Se K é um corpo e R é o anel de todas as matrizes triangulares superiores n-por-n com entradas em K, então J(R) consiste em todas as matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal principal. Comece com uma aljava (quiver) finita e acíclica Γ e um corpo K e considere a álgebra de aljava K Γ. O radical de Jacobson deste anel é gerado por todos os caminhos em Γ de comprimento ≥ 1. O radical de Jacobson de uma C*-álgebra é {0}. Isto decorre do Teorema de Gelfand-Naimark e do fato de que, para uma C*-álgebra, uma *-representação topologicamente irredutível sobre um espaço de Hilbert é algebricamente irredutível, de modo que seu núcleo seja um ideal primitivo no sentido puramente algébrico (veja Espectro de uma C*-álgebra).

Propriedades