miniatura|300px|Células de Bénard.
Na termodinâmica de fluidos, a convecção de Rayleigh-Bénard é uma instabilidade convectiva que pode ocorrer em uma camada horizontal de fluido aquecida por baixo, com a parte superior mantida a uma temperatura menor. Abaixo do limiar de instabilidade, o calor pode ser transportado apenas por condução. Acima de um valor crítico do número de Rayleigh, pequenas perturbações do estado condutivo crescem e o fluido passa a circular, formando padrões como rolos de convecção e, em determinadas condições, células de convecção poligonais chamadas células de Bénard.
As equações usadas no tratamento clássico da convecção por empuxo foram formuladas por Anton Oberbeck em 1879 e por Joseph Valentin Boussinesq em 1903. Uma instabilidade convectiva análoga, de origem solutal, pode ocorrer quando gradientes de concentração produzem uma estratificação instável de densidade. Isso pode acontecer em sistemas eletroquímicos nos quais uma espécie mais densa que o eletrólito é consumida na parte inferior e gerada na parte superior.
A convecção de Rayleigh-Bénard é usada em estudos experimentais e teóricos de instabilidade hidrodinâmica, formação de padrões e sistemas não lineares. Também são conhecidas soluções analíticas autossimilares, dependentes do tempo, para os campos de velocidade e a distribuição de temperatura.
O empuxo, e com ele a gravidade, fornece o mecanismo que produz a convecção no problema clássico. O fluido aquecido na parte inferior geralmente se torna menos denso e tende a subir, enquanto o fluido mais frio e denso desce.
miniatura|A convecção de Rayleigh-Bénard pode produzir padrões de danos causados pela geada na grama. As áreas atingidas pela geada ficam marrons depois de alguns dias, enquanto as demais permanecem verdes. A escala espacial do padrão é de cerca de 20 cm.
Processos físicos A geometria básica do problema pode ser estudada em uma camada horizontal de líquido aquecida por baixo. Henri Bénard realizou em 1900 os primeiros experimentos quantitativos que deram origem ao nome das células.
Desenvolvimento da convecção miniatura|300px|Células de convecção em um campo gravitacional Considere uma camada de líquido entre dois planos horizontais paralelos, com espessura pequena em comparação com suas dimensões horizontais. Se os dois planos estão à mesma temperatura e não há outro mecanismo que mantenha um gradiente térmico, o líquido tende ao equilíbrio termodinâmico com temperatura uniforme.
Quando o plano inferior é aquecido em relação ao superior, existe uma solução estacionária sem movimento do fluido, chamada estado condutivo. Para propriedades térmicas constantes e temperaturas fixas nas duas fronteiras, a temperatura varia linearmente com a altura,
onde L é a espessura da camada, Tb é a temperatura inferior e Tu a temperatura superior. A pressão do fluido em repouso satisfaz o equilíbrio hidrostático. Não é necessário supor que pressão e densidade tenham o mesmo perfil linear da temperatura.
Para números de Rayleigh abaixo do limiar de instabilidade, pequenas perturbações de velocidade e temperatura decaem no tratamento linear. Dentro dessa aproximação, o estado condutivo recupera-se após pequenas perturbações, comportamento relacionado à estabilidade assintótica do estado base. Quando o número de Rayleigh ultrapassa o valor crítico, pelo menos um modo de perturbação passa a crescer e o estado puramente condutivo perde estabilidade. A transição é, portanto, uma instabilidade hidrodinâmica macroscópica, e não uma ordenação direta do movimento molecular aleatório.
O tratamento clássico emprega a aproximação de Oberbeck-Boussinesq. As propriedades do fluido são tomadas como constantes, enquanto a pequena variação da densidade com a temperatura é conservada no termo de empuxo. Para diferenças de temperatura moderadas, escreve-se aproximadamente
onde ρ0 é uma densidade de referência, T0 uma temperatura de referência e β o coeficiente de expansão térmica. Quando as propriedades do fluido variam de modo apreciável através da camada, surgem efeitos não Oberbeck-Boussinesq. A quebra da simetria entre as partes superior e inferior pode alterar os padrões selecionados pela convecção.
Características da convecção direita|miniatura|400px|Simulação tridimensional da convecção de Rayleigh-Bénard.
No problema clássico com aproximação de Boussinesq e condições equivalentes nas placas superior e inferior, a instabilidade primária é estacionária. Próximo ao limiar, rolos de convecção são uma configuração estável no problema usual de Rayleigh-Bénard. Rolos vizinhos giram em sentidos opostos. Em uma camada horizontal idealmente infinita, nenhuma direção horizontal é privilegiada, de modo que a orientação dos rolos é degenerada. Paredes laterais, a geometria do recipiente e outras assimetrias podem selecionar sua orientação e seu comprimento de onda.
A análise linear determina o módulo do vetor de onda que primeiro se torna instável, mas não basta para determinar todos os padrões que podem persistir acima do limiar. Interações não lineares selecionam entre rolos, quadrados, hexágonos e outras configurações permitidas pelas condições físicas. Condições térmicas próximas do isolamento podem favorecer padrões quadrados, enquanto a quebra da simetria vertical, incluindo efeitos não Boussinesq ou uma superfície livre sujeita a tensão superficial, pode favorecer células hexagonais.
miniatura|Campo térmico de um fluido sob convecção de Rayleigh-Bénard, à esquerda, e sua transformada de Fourier bidimensional, à direita.
Nos experimentos de superfície livre de Bénard, os padrões estacionários mais regulares tinham contornos aproximadamente hexagonais vistos de cima, com fluido quente subindo na região central e fluido mais frio descendo perto das bordas. Simulações e experimentos em configurações relacionadas também produziram padrões celulares hexagonais. Outras condições podem produzir células quadradas ou padrões espirais. Assim, células hexagonais não são a forma universal da convecção de Rayleigh-Bénard.
À medida que o número de Rayleigh aumenta, podem surgir instabilidades secundárias, estados dependentes do tempo e regimes caóticos. A sequência dessas transições depende também do número de Prandtl, das condições de contorno e da geometria do sistema. Em números de Rayleigh suficientemente elevados, o sistema pode entrar em regime de convecção turbulenta.
miniatura|300px|Convecção turbulenta de Rayleigh-Bénard.
Em 1963, Edward Lorenz obteve um sistema de três equações diferenciais ordinárias a partir de uma forte truncagem em modos de Fourier de um modelo bidimensional de convecção. Para determinados valores dos parâmetros, o sistema possui soluções aperiódicas com forte sensibilidade às condições iniciais. Esse modelo de baixa ordem deu origem ao sistema de Lorenz e tornou-se um exemplo clássico de teoria do caos. Ele não constitui uma descrição completa de todos os regimes da convecção de Rayleigh-Bénard, particularmente do regime próximo ao início estacionário da convecção.
Instabilidade de Rayleigh-Bénard A tendência ao movimento convectivo decorre da estratificação de densidade produzida pelo aquecimento inferior. O fluido quente e menos denso sob o fluido frio e mais denso possui energia potencial disponível para movimentar a camada. A viscosidade e a difusão térmica se opõem ao crescimento das perturbações. Esses efeitos entram no número de Rayleigh, definido no problema clássico por
onde: Tu é a temperatura da placa superior; Tb é a temperatura da placa inferior; L é a espessura da camada; g é a aceleração da gravidade; ν é a viscosidade cinemática; α é a difusividade térmica; β é o coeficiente de expansão térmica.
O número de Rayleigh mede a intensidade do efeito desestabilizador do empuxo em relação aos efeitos estabilizadores da viscosidade e da difusão térmica. O limiar de convecção não possui um único valor universal, pois depende das condições mecânicas e térmicas impostas às fronteiras.
Para duas placas rígidas, impermeáveis, isotérmicas e com condição de não deslizamento, o valor crítico no problema clássico é
Para duas fronteiras mecanicamente livres de tensão tangencial e mantidas a temperatura fixa, Lord Rayleigh obteve analiticamente
Com uma fronteira rígida e a outra livre de tensão tangencial, nas mesmas condições térmicas idealizadas,
Nesses cálculos, uma fronteira "livre" é uma condição matemática na qual não há tensão tangencial sobre o fluido. Ela não deve ser identificada automaticamente com qualquer superfície líquida exposta ao ar, pois uma superfície física pode sofrer deformação e tensões produzidas por gradientes de tensão superficial.
O caso livre-livre também pode ser obtido por uma análise de perturbações das equações linearizadas em torno do estado condutivo. Para esse caso, a curva de estabilidade marginal é minimizada no número de onda crítico , resultando em . O caso com uma fronteira rígida e uma livre requer outras condições de contorno e resulta em .
Outro parâmetro adimensional do problema é o número de Prandtl,
que compara a difusão de quantidade de movimento com a difusão térmica. No problema clássico não rotativo de um fluido simples, o limiar da instabilidade estacionária primária não depende do número de Prandtl. A evolução acima desse limiar e as instabilidades secundárias podem depender fortemente de Pr.
Em uma camada de extensão horizontal finita, paredes laterais e a razão entre as dimensões do recipiente também afetam a seleção dos modos e dos padrões observados. O problema ideal de extensão horizontal infinita elimina essas restrições e conserva a degenerescência entre todas as orientações horizontais equivalentes.
Efeitos da tensão superficial
Quando o líquido possui uma superfície livre em contato com outro fluido, gradientes de tensão superficial podem gerar movimento juntamente com o empuxo. Para muitos líquidos puros nas condições usuais, a tensão superficial diminui quando a temperatura aumenta. Uma variação horizontal de temperatura na superfície produz então um escoamento da região mais quente, de menor tensão superficial, para a região mais fria, de maior tensão superficial. Esse movimento é um caso do efeito Marangoni.
Pela conservação de massa, o escoamento superficial é acompanhado por um movimento de retorno no interior do líquido. Quando a tensão superficial varia por causa da temperatura, o fenômeno recebe o nome de convecção termocapilar ou convecção de Bénard-Marangoni. A importância relativa desse mecanismo aumenta quando a camada se torna muito fina, pois a contribuição do empuxo diminui mais rapidamente com a espessura que a contribuição termocapilar.
A distinção é especialmente relevante para os experimentos históricos de Bénard. Suas camadas tinham espessura da ordem de um milímetro e uma superfície superior livre, condições nas quais os gradientes de tensão superficial tiveram uma contribuição dominante.
História e nomenclatura Em 1870, o físico e engenheiro irlandês-escocês James Thomson (1822–1892), irmão mais velho de Lord Kelvin, observou água esfriando em uma tina e percebeu que uma película de sabão na superfície se dividia em regiões semelhantes a um mosaico. Em 1882, relacionou a tesselação à presença de movimentos convectivos.
Em 1900, o físico francês Henri Bénard publicou seus primeiros experimentos quantitativos sobre a formação de células em uma camada líquida aquecida por baixo. Em seus experimentos posteriores, usou camadas com espessura da ordem de 1 mm de óleo de espermacete ou palmitato de cetila sobre uma placa metálica aquecida. A superfície superior era livre, o que permitia empregar técnicas ópticas para medir o padrão e a deformação da superfície. Nos padrões estacionários mais regulares, o fluido quente subia perto do centro das células aproximadamente hexagonais, percorria a superfície e descia perto de suas bordas.