thumb|Uma animação da superfície romana
Na matemática, a superfície romana ou superfície de Steiner é um mapeamento com autointerseção do plano projetivo real no espaço tridimensional, com um grau incomumente alto de simetria. Este mapeamento não é uma imersão do plano projetivo; entretanto, a figura que resulta da remoção de seis pontos singulares é uma. Seu nome se deve ao fato de ter sido descoberta por Jakob Steiner quando ele estava em Roma em 1844.
A construção mais simples é dada pela imagem de uma esfera centrada na origem sob o mapa Isso fornece uma fórmula implícita de
Além disso, adotar uma parametrização da esfera em termos de longitude (θ) e latitude (φ) fornece as seguintes equações paramétricas para a superfície romana:
A origem é um ponto triplo, e cada um dos planos xy, yz e xz é tangente à superfície ali. Os outros locais de autointerseção são pontos duplos, definindo segmentos ao longo de cada eixo coordenado que terminam em seis pontos de pinçamento (pinch points). Toda a superfície possui simetria tetraédrica. É um tipo particular (chamado de tipo 1) de superfície de Steiner, isto é, uma projeção linear tridimensional da superfície de Veronese.
Derivação da fórmula implícita Por simplicidade, consideramos apenas o caso r = 1. Dada a esfera definida pelos pontos (x, y, z) tal que
aplicamos a esses pontos a transformação T definida por digamos.
Mas então temos
e, portanto, como desejado.
Reciprocamente, suponha que nos seja dado (U, V, W) satisfazendo
(*)
Provamos que existe (x,y,z) tal que
(**)
para o qual
com uma exceção: No caso 3.b. abaixo, mostramos que isso não pode ser provado.
1. No caso em que nenhum dos valores U, V, W é 0, podemos definir
(Note que (*) garante que ou todos os três U, V, W são positivos, ou então exatamente dois são negativos. Portanto, essas raízes quadradas são de números positivos.)
É fácil usar (*) para confirmar que (**) é válida para x, y, z definidos desta forma.
2. Suponha que W seja 0. A partir de (*), isso implica
e, consequentemente, pelo menos um dentre U ou V deve ser 0 também. Isso mostra que é impossível que exatamente apenas um dentre U, V, W seja 0.
3. Suponha que exatamente dois dentre U, V, W sejam 0. Sem perda de generalidade, assumimos
(***)
Disso se deduz que
(pois se isso implicaria que e portanto contradizendo (***).)
a. No subcaso em que
se determinarmos x e y por
e
isto garante que (*) seja válida. É fácil verificar que
e, portanto, escolher os sinais de x e y de forma apropriada garantirá que
Como também
isso mostra que este subcaso leva à recíproca desejada.
b. Neste subcaso restante do caso 3., temos
Visto que
é fácil verificar que
e, portanto, neste caso, onde
não há (x, y, z) que satisfaça
Assim, as soluções (U, 0, 0) da equação (*) com
e da mesma forma, (0, V, 0) com
e (0, 0, W) com
(cada uma das quais é uma porção não compacta de um eixo coordenado, em duas partes) não correspondem a nenhum ponto na superfície romana.
4. Se (U, V, W) é o ponto (0, 0, 0), então se quaisquer dois dentre x, y, z forem zero e o terceiro tiver valor absoluto 1, claramente como desejado.
Isso cobre todos os casos possíveis.
Derivação das equações paramétricas Seja uma esfera com raio r, longitude φ e latitude θ. Suas equações paramétricas são:
Então, a aplicação da transformação T a todos os pontos desta esfera resulta em:
que são os pontos na superfície romana. Faça φ variar de 0 a 2π, e faça θ variar de 0 a π/2.
Relação com o plano projetivo real A esfera, antes de ser transformada, não é homeomorfa ao plano projetivo real, RP2. Mas a esfera centrada na origem tem a seguinte propriedade: se o ponto (x,y,z) pertence à esfera, então o ponto antípoda (-x,-y,-z) também pertence, e esses dois pontos são diferentes: situam-se em lados opostos do centro da esfera.
A transformação T converte ambos os pontos antípodas no mesmo ponto:
Como isto é válido para todos os pontos de S2, fica claro que a superfície romana é uma imagem contínua de uma "esfera módulo antípodas". Como alguns pares distintos de antípodas são todos levados a pontos idênticos na superfície romana, ela não é homeomorfa a RP2, mas sim um quociente do plano projetivo real RP2 = S2 / (x~-x). Além disso, o mapa T (acima) de S2 para esse quociente possui a propriedade especial de ser localmente injetivo, exceto em seis pares de pontos antípodas. Ou, a partir de RP2, o mapa resultante torna isto uma imersão de RP2 — menos seis pontos — no espaço tridimensional.
Estrutura da superfície romana A superfície romana tem quatro "lóbulos" bulbosos, cada um em um canto diferente de um tetraedro.
Uma superfície romana pode ser construída juntando-se três paraboloides hiperbólicos e, em seguida, suavizando as arestas conforme necessário para que ela se ajuste a uma forma desejada (por exemplo, parametrização).
Sejam estes três paraboloides hiperbólicos: x = yz, y = zx, z = xy. Esses três paraboloides hiperbólicos se interceptam externamente ao longo de seis arestas de um tetraedro e internamente ao longo dos três eixos. As interseções internas são lugares geométricos de pontos duplos. Os três lugares geométricos de pontos duplos: x = 0, y = 0 e z = 0, se interceptam em um ponto triplo na origem.
Por exemplo, dados x = yz e y = zx, o segundo paraboloide é equivalente a x = y/z. Então
e ou y = 0 ou z2 = 1, de modo que z = ±1. Suas duas interseções externas são x = y, z = 1; x = −y, z = −1. Da mesma forma, as outras interseções externas são x = z, y = 1; x = −z, y = −1; y = z, x = 1; y = −z, x = −1.
Vamos ver as peças sendo montadas. Junte os paraboloides y = xz e x = yz. O resultado é mostrado na Figura 1. thumb|Figura 1.
O paraboloide y = x z é mostrado em azul e laranja. O paraboloide x = y z é mostrado em ciano e roxo. Na imagem, pode-se ver que os paraboloides se interceptam ao longo do eixo z = 0. Se os paraboloides forem estendidos, eles também devem ser vistos se interceptando ao longo das retas z = 1, y = x; z = −1, y = −x. Os dois paraboloides juntos parecem um par de orquídeas unidas costas com costas.
Agora, passe o terceiro paraboloide hiperbólico, z = xy, através deles. O resultado é mostrado na Figura 2. thumb|Figura 2.
Nas direções oeste-sudoeste e leste-nordeste na Figura 2 há um par de aberturas. Essas aberturas são lóbulos e precisam ser fechadas. Quando as aberturas são fechadas, o resultado é a superfície romana mostrada na Figura 3. thumb|Figura 3. Superfície romana.
Um par de lóbulos pode ser visto nas direções Oeste e Leste da Figura 3. Outro par de lóbulos está escondido por baixo do terceiro paraboloide (z = xy) e encontra-se nas direções Norte e Sul.
Se os três paraboloides hiperbólicos que se interceptam forem desenhados longe o suficiente para se interceptarem ao longo das arestas de um tetraedro, o resultado será como mostrado na Figura 4. thumb|Figura 4.
Um dos lóbulos é visto frontalmente — de frente — na Figura 4. Pode-se ver que o lóbulo é um dos quatro cantos do tetraedro.
Se a superfície contínua na Figura 4 tiver as suas arestas afiadas arredondadas — suavizadas —, o resultado será a superfície romana na Figura 5. Figura 5. Superfície romana.
Um dos lóbulos da superfície romana é visto frontalmente na Figura 5, e a sua forma bulbosa — como a de um balão — é evidente.
Se a superfície na Figura 5 for girada 180 graus e depois virada de cabeça para baixo, o resultado será como mostrado na Figura 6. thumb|Figura 6. Superfície romana.
A Figura 6 mostra três lóbulos vistos de lado. Entre cada par de lóbulos há um lugar geométrico de pontos duplos correspondente a um eixo coordenado. Os três lugares geométricos se interceptam em um ponto triplo na origem. O quarto lóbulo está oculto e aponta na direção diretamente oposta ao observador. A superfície romana mostrada no topo deste artigo também apresenta três lóbulos na visão lateral.
Unilateralidade A superfície romana é não orientável, ou seja, unilateral (tem apenas um lado). Isso não é totalmente óbvio. Para ver isso, olhe novamente para a Figura 3. thumb
Imagine uma formiga no topo do "terceiro" paraboloide hiperbólico, z = x y. Deixe essa formiga se mover para o Norte. Conforme ela se move, passará através dos outros dois paraboloides, como um fantasma passando por uma parede. Esses outros paraboloides apenas parecem obstáculos devido à natureza de autointerseção da imersão. Considere que a formiga ignore todos os pontos duplos e triplos e passe direto por eles. Então a formiga se move para o Norte e "cai da borda do mundo", por assim dizer. Agora ela se encontra no lóbulo norte, escondida sob o terceiro paraboloide da Figura 3. A formiga está de cabeça para baixo, no "lado de fora" da superfície romana.
Deixe a formiga se mover em direção ao Sudoeste. Ela subirá uma encosta (de cabeça para baixo) até se encontrar no "lado de dentro" do lóbulo Ocidental. Agora deixe a formiga se mover em uma direção Sudeste ao longo do interior do lóbulo Ocidental em direção ao eixo z = 0, sempre acima do plano x-y. Assim que passar pelo eixo z = 0, a formiga estará no "lado de fora" do lóbulo Oriental, de pé com o lado certo para cima.
Em seguida, deixe-a se mover para o Norte, sobre "a colina", e então para o Noroeste, de modo que comece a deslizar para baixo em direção ao eixo x = 0. Assim que a formiga cruzar esse eixo, ela se encontrará no "lado de dentro" do lóbulo do Norte, de pé com o lado certo para cima. Agora deixe a formiga caminhar para o Norte. Ela subirá a parede e depois seguirá pelo "teto" do lóbulo do Norte. A formiga está de volta ao terceiro paraboloide hiperbólico, mas desta vez debaixo dele e de cabeça para baixo. (Compare com a garrafa de Klein.)
Pontos duplos, triplos e de pinçamento A superfície romana tem quatro "lóbulos". As fronteiras de cada lóbulo são um conjunto de três retas de pontos duplos. Entre cada par de lóbulos há uma reta de pontos duplos. A superfície tem um total de três retas de pontos duplos, as quais se encontram (na parametrização dada anteriormente) nos eixos coordenados. As três retas de pontos duplos se interceptam num ponto triplo que fica na origem. O ponto triplo corta as retas de pontos duplos em um par de semirretas, e cada semirreta fica entre um par de lóbulos. Poderia-se esperar, a partir das afirmações anteriores, que houvesse até oito lóbulos, um em cada octante do espaço dividido pelos planos coordenados. Mas os lóbulos ocupam octantes alternados: quatro octantes estão vazios e quatro são ocupados por lóbulos.
Se a superfície romana fosse inscrita dentro do tetraedro com o menor volume possível, constatar-se-ia que cada aresta do tetraedro é tangente à superfície romana em um ponto, e que cada um desses seis pontos é uma singularidade de Whitney. Estas singularidades, ou pontos de pinçamento (pontos de aperto), estão todas situadas nas extremidades das três retas de pontos duplos, e são definidas pela seguinte propriedade: não há plano tangente a nenhuma superfície na singularidade.
Ver também Superfície de Boy – uma imersão do plano projetivo sem "cross-caps". Tetra-hemi-hexaedro – um poliedro muito semelhante à superfície romana.
Referências
Referências gerais A. Coffman, A. Schwartz e C. Stanton: The Algebra and Geometry of Steiner and other Quadratically Parametrizable Surfaces. Em Computer Aided Geometric Design (3) 13 (Abril de 1996), p. 257-286 Bert Jüttler, Ragni Piene: Geometric Modeling and Algebraic Geometry. Springer 2008, , p. 30 ()
Ligações externas A. Coffman, "Steiner Surfaces"
Roman Surfaces no National Curve Bank (site da California State University) Ashay Dharwadker, Heptahedron and Roman Surface, Electronic Geometry Models, 2004.
Categoria:Superfícies