Na álgebra abstrata, um grupo abeliano é chamado de finitamente gerado se existirem finitamente muitos elementos em tais que todo em possa ser escrito na forma para alguns inteiros . Neste caso, dizemos que o conjunto é um conjunto gerador de ou que geram . Assim, os grupos abelianos finitamente gerados podem ser pensados como uma generalização dos grupos cíclicos.

Todo grupo abeliano finito é finitamente gerado. Os grupos abelianos finitamente gerados podem ser completamente classificados.

Exemplos Os inteiros, , são um grupo abeliano finitamente gerado. Os inteiros módulo , , são um grupo abeliano finito (e, portanto, finitamente gerado). Qualquer soma direta de finitamente muitos grupos abelianos finitamente gerados é novamente um grupo abeliano finitamente gerado. Todo reticulado forma um grupo abeliano livre finitamente gerado.

Não existem outros exemplos (a menos de isomorfismo). Em particular, o grupo dos números racionais não é finitamente gerado: se forem números racionais, escolha um número natural coprimo a todos os denominadores; então não poderá ser gerado por . O grupo dos números racionais não nulos também não é finitamente gerado. Os grupos dos números reais sob adição e dos números reais não nulos sob multiplicação também não são finitamente gerados.

Classificação O teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados pode ser enunciado de duas maneiras, generalizando as duas formas do teorema fundamental dos grupos abelianos finitos. O teorema, em ambas as formas, generaliza-se por sua vez para o teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais, o qual, por seu turno, admite outras generalizações.

Decomposição primária A formulação da decomposição primária afirma que todo grupo abeliano finitamente gerado G é isomorfo a uma soma direta de grupos cíclicos primários e grupos cíclicos infinitos. Um grupo cíclico primário é aquele cuja ordem é uma potência de um primo. Ou seja, todo grupo abeliano finitamente gerado é isomorfo a um grupo da forma

onde n ≥ 0 é o posto, e os números q1, ..., qt são potências de números primos (não necessariamente distintos). Em particular, G é finito se e somente se n = 0. Os valores de n, q1, ..., qt são (a menos da reordenação dos índices) unicamente determinados por G, isto é, há uma e apenas uma maneira de representar G através de tal decomposição.

A prova desta afirmação usa o teorema da base para grupos abelianos finitos: todo grupo abeliano finito é uma soma direta de grupos cíclicos primários. Denote o subgrupo de torção de G como tG. Então, G/tG é um grupo abeliano livre de torção e, portanto, é um grupo abeliano livre. tG é um somando direto de G, o que significa que existe um subgrupo F de G tal que , onde . Logo, F também é um grupo abeliano livre. Como tG é finitamente gerado e cada elemento de tG tem ordem finita, tG é finito. Pelo teorema da base para grupos abelianos finitos, tG pode ser escrito como uma soma direta de grupos cíclicos primários.

Decomposição em fatores invariantes Também podemos escrever qualquer grupo abeliano finitamente gerado G como uma soma direta da forma

onde k1 divide k2, que divide k3 e assim por diante até ku. Novamente, o posto n e os fatores invariantes k1, ..., ku são univocamente determinados por G (aqui com uma ordem única). O posto e a sequência de fatores invariantes determinam o grupo a menos de isomorfismo.

Equivalência Estas afirmações são equivalentes como resultado do teorema chinês do resto, que implica que se e somente se j e k forem coprimos.

História A história e a autoria do teorema fundamental são complicadas pelo fato de ele ter sido provado quando a teoria dos grupos ainda não estava bem estabelecida e, assim, as formas iniciais, embora contendo essencialmente o resultado e a prova modernos, são muitas vezes enunciadas para um caso específico. Resumidamente, uma forma inicial do caso finito foi provada por Gauss em 1801, o caso finito foi provado por Kronecker em 1870, e enunciado em termos da teoria dos grupos por Frobenius e Stickelberger em 1878. O caso finitamente apresentado é resolvido pela forma normal de Smith, sendo portanto frequentemente creditado a Smith (1861), embora o caso finitamente gerado às vezes seja creditado a Poincaré em 1900. detalhes abaixo.

O teórico de grupos László Fuchs afirma:

O teorema fundamental para grupos abelianos finitos foi provado por Leopold Kronecker em 1870, usando uma prova da teoria dos grupos, embora sem enunciá-lo nos termos próprios da teoria de grupos; uma apresentação moderna da prova de Kronecker é dada por Stillwell (2012), 5.2.2 Teorema de Kronecker, 176–177. Isso generalizou um resultado anterior de Carl Friedrich Gauss presente em Disquisitiones Arithmeticae (1801), que classificava as formas quadráticas; Kronecker citou este resultado de Gauss. O teorema foi enunciado e provado na linguagem dos grupos por Ferdinand Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger em 1878.G. Frobenius, L. Stickelberger, Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen, J. reine u. angew. Math., 86 (1878), 217-262.Wussing (2007), pp. 234–235 Outra formulação na teoria dos grupos foi dada pelo aluno de Kronecker, Eugen Netto, em 1882.Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra, Eugen Netto, 1882Wussing (2007), pp. 234–235

O teorema fundamental para grupos abelianos finitamente apresentados foi provado por Henry John Stephen Smith em 1861, já que as matrizes de inteiros correspondem a apresentações finitas de grupos abelianos (isso se generaliza para módulos finitamente apresentados sobre um domínio de ideais principais), e a forma normal de Smith corresponde à classificação de grupos abelianos finitamente apresentados.

O teorema fundamental para grupos abelianos finitamente gerados foi provado por Henri Poincaré em 1900, usando uma demonstração baseada em matrizes (a qual se generaliza para domínios de ideais principais). Isso foi feito no contexto do cálculo da homologia de um complexo, mais especificamente o número de Betti e os coeficientes de torção de uma dimensão do complexo, em que o número de Betti corresponde ao posto da parte livre, e os coeficientes de torção correspondem à parte de torção.

A demonstração de Kronecker foi generalizada para grupos abelianos finitamente gerados por Emmy Noether em 1926.

Corolários Enunciado de forma diferente, o teorema fundamental diz que um grupo abeliano finitamente gerado é a soma direta de um grupo abeliano livre de posto finito e um grupo abeliano finito, cada um destes sendo único a menos de isomorfismo. O grupo abeliano finito é apenas o subgrupo de torção de G. O posto de G é definido como o posto da parte livre de torção de G; esse é justamente o número n nas fórmulas acima.

Um corolário do teorema fundamental é que todo grupo abeliano livre de torção finitamente gerado é um grupo abeliano livre. A condição "finitamente gerado" é essencial aqui: é livre de torção, mas não é um grupo abeliano livre.

Todo subgrupo e grupo quociente de um grupo abeliano finitamente gerado é novamente um grupo abeliano finitamente gerado. Os grupos abelianos finitamente gerados, juntamente com os homomorfismos de grupos, formam uma categoria abeliana que é uma subcategoria de Serre da categoria dos grupos abelianos.

Grupos abelianos não finitamente gerados Note que nem todo grupo abeliano de posto finito é finitamente gerado; o grupo de posto 1 é um contraexemplo, e o grupo de posto 0 dado por uma soma direta de infinitas cópias enumeráveis de é outro.

Ver também A série de composição no teorema de Jordan-Hölder é uma generalização não abeliana.

Referências

Bibliografia Reimpresso (pp. 367–409) em The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Vol. I, editado por J. W. L. Glaisher. Oxford: Clarendon Press (1894), xcv+603 pp.

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