Na matemática, a álgebra simétrica (também denotada por ) sobre um espaço vetorial sobre um corpo é uma álgebra comutativa sobre que contém e é, de certa forma, mínima para esta propriedade. Aqui, "mínima" significa que satisfaz a seguinte propriedade universal: para toda transformação linear de para uma álgebra comutativa , existe um único homomorfismo de álgebras tal que , onde é o mapa de inclusão de em .
Se for uma base de , a álgebra simétrica pode ser identificada, através de um isomorfismo canônico, com o anel de polinômios , onde os elementos de são considerados como indeterminadas. Portanto, a álgebra simétrica sobre pode ser vista como um anel de polinômios "livre de coordenadas" sobre .
A álgebra simétrica pode ser construída como o quociente da álgebra tensorial pelo ideal bilateral gerado pelos elementos da forma .
Todas essas definições e propriedades se estendem naturalmente para o caso onde é um módulo (não necessariamente um módulo livre) sobre um anel comutativo.
Construção A partir da álgebra tensorial É possível usar a álgebra tensorial para descrever a álgebra simétrica . De fato, pode ser definida como a álgebra quociente de pelo ideal bilateral gerado pelos comutadores
É direto verificar que a álgebra resultante satisfaz a propriedade universal enunciada na introdução. Por causa da propriedade universal da álgebra tensorial, uma transformação linear de para uma álgebra comutativa se estende a um homomorfismo de álgebras , que fatora através de porque é comutativa. A extensão de a um homomorfismo de álgebras é única porque gera como uma -álgebra.
Isso também resulta diretamente de um resultado geral da teoria das categorias, que afirma que a composição de dois functores adjuntos à esquerda também é um functor adjunto à esquerda. Aqui, o functor esquecido das álgebras comutativas para espaços vetoriais ou módulos (esquecendo a multiplicação) é a composição dos functores esquecidos das álgebras comutativas para álgebras associativas (esquecendo a comutatividade), e das álgebras associativas para vetores ou módulos (esquecendo a multiplicação). Como a álgebra tensorial e o quociente por comutadores são adjuntos à esquerda desses functores esquecidos, a composição deles é adjunta à esquerda do functor esquecido da álgebra comutativa para vetores ou módulos, e isso prova a propriedade universal desejada.
A partir do anel de polinômios A álgebra simétrica também pode ser construída a partir de anéis de polinômios.
Se for um -espaço vetorial ou um -módulo livre, com uma base , seja o anel de polinômios que tem os elementos de como indeterminadas. Os polinômios homogêneos de grau um formam um espaço vetorial ou um módulo livre que pode ser identificado com . É simples verificar que isso faz de uma solução para o problema universal enunciado na introdução. Isso implica que e são canonicamente isomorfos e podem, portanto, ser identificados. Isso resulta também imediatamente de considerações gerais da teoria das categorias, uma vez que módulos livres e anéis de polinômios são objetos livres de suas respectivas categorias.
Se for um módulo que não é livre, ele pode ser escrito como onde é um módulo livre, e é um submódulo de . Neste caso, tem-se
onde é o ideal gerado por . (Aqui, os sinais de igualdade significam igualdade a menos de um isomorfismo canônico). Novamente, isso pode ser provado mostrando que se tem uma solução da propriedade universal, e isso pode ser feito por um cálculo direto (mas tedioso) ou usando a teoria das categorias e, mais especificamente, o fato de que um quociente é a solução do problema universal para morfismos que mapeiam para zero um dado subconjunto. (Dependendo do caso, o núcleo é um subgrupo normal, um submódulo ou um ideal, e a definição usual de quocientes pode ser vista como uma prova da existência de uma solução do problema universal).
Graduação A álgebra simétrica é uma álgebra graduada. Ou seja, ela é uma soma direta
onde chamada de -ésima potência simétrica de , é o subespaço vetorial ou submódulo gerado pelos produtos de elementos de . (A segunda potência simétrica é às vezes chamada de quadrado simétrico de ).
Isso pode ser provado de várias maneiras. Uma delas segue da construção da álgebra tensorial: como a álgebra tensorial é graduada, a álgebra simétrica é o seu quociente por um ideal homogêneo: o ideal gerado por todos os onde e estão em , ou seja, são homogêneos de grau um.
No caso de um espaço vetorial ou módulo livre, a graduação é a graduação dos polinômios pelo grau total. Um módulo não livre pode ser escrito como , onde é um módulo livre de base ; a sua álgebra simétrica é o quociente da álgebra simétrica (graduada) de (um anel de polinômios) pelo ideal homogêneo gerado pelos elementos de , que são homogêneos de grau um.
Pode-se também definir como a solução do problema universal para funções simétricas -lineares de num espaço vetorial ou módulo, e então verificar que a soma direta de todos os satisfaz o problema universal para a álgebra simétrica.
Relação com tensores simétricos Como a álgebra simétrica de um espaço vetorial é um quociente da álgebra tensorial, um elemento da álgebra simétrica não é um tensor e, em particular, não é um tensor simétrico. No entanto, os tensores simétricos estão fortemente relacionados à álgebra simétrica.
Um tensor simétrico de grau é um elemento de que é invariante sob a ação do grupo simétrico Mais precisamente, dado a transformação define um endomorfismo linear de . Um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob todos esses endomorfismos. Os tensores simétricos de grau formam um subespaço vetorial (ou módulo) . Os tensores simétricos são os elementos da soma direta que é um espaço vetorial graduado (ou um módulo graduado). Esta soma não forma uma álgebra, visto que o produto tensorial de dois tensores simétricos não é simétrico em geral.
Seja a restrição a da sobrejeção canônica Se for invertível no corpo base (ou anel base), então é um isomorfismo. Este é sempre o caso sobre um corpo base de característica zero. O isomorfismo inverso é a transformação linear definida (em produtos de vetores) pela simetrização
A transformação não é injetiva se a característica for menor que ; por exemplo, é zero em característica dois. Sobre um anel de característica zero, pode não ser sobrejetiva; por exemplo, sobre os inteiros, se e forem dois elementos linearmente independentes de que não estão em , então uma vez que
Em resumo, sobre um corpo de característica zero, os tensores simétricos e a álgebra simétrica formam dois espaços vetoriais graduados isomorfos. Eles podem, portanto, ser identificados no que diz respeito apenas à estrutura do espaço vetorial, mas não podem ser identificados assim que os produtos estão envolvidos. Além disso, este isomorfismo não se estende aos casos de corpos de característica positiva e anéis que não contêm os números racionais.
Propriedades categóricas Dado um módulo sobre um anel comutativo , a álgebra simétrica pode ser definida pela seguinte propriedade universal:
Para toda transformação -linear de para uma -álgebra comutativa , existe um único -homomorfismo de álgebras tal que onde é a inclusão de em .
Como ocorre com toda propriedade universal, assim que uma solução existe, ela define unicamente a álgebra simétrica, a menos de um isomorfismo canônico. Segue-se que todas as propriedades da álgebra simétrica podem ser deduzidas da propriedade universal. Esta seção é dedicada às principais propriedades que pertencem à teoria das categorias.
A álgebra simétrica é um functor da categoria dos -módulos para a categoria das -álgebras comutativas, visto que a propriedade universal implica que todo homomorfismo de módulos pode ser estendido de forma única a um homomorfismo de álgebras
A propriedade universal pode ser reformulada dizendo que a álgebra simétrica é um functor adjunto à esquerda ao functor esquecido que associa uma álgebra comutativa ao seu módulo subjacente.
Álgebra simétrica de um espaço afim Pode-se construir de forma análoga a álgebra simétrica num espaço afim. A principal diferença é que a álgebra simétrica de um espaço afim não é uma álgebra graduada, mas uma álgebra filtrada: pode-se determinar o grau de um polinômio num espaço afim, mas não as suas partes homogêneas.
Por exemplo, dado um polinômio linear num espaço vetorial, pode-se determinar a sua parte constante avaliando-o em 0. Num espaço afim, não há um ponto distinto, de modo que não se pode fazer isso (escolher um ponto transforma um espaço afim num espaço vetorial).
Analogia com a álgebra exterior Os são functores comparáveis às potências exteriores; aqui, no entanto, a dimensão cresce com ; ela é dada por
onde é a dimensão de . Este coeficiente binomial é o número de monômios de variáveis de grau . De fato, a álgebra simétrica e a álgebra exterior aparecem como as componentes isotípicas da representação trivial e de sinal da ação de atuando no produto tensorial (por exemplo, sobre o corpo dos complexos).
Como uma álgebra de Hopf A álgebra simétrica pode receber a estrutura de uma álgebra de Hopf. Veja Álgebra tensorial para mais detalhes.
Como uma álgebra envolvente universal A álgebra simétrica é a álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie abeliana, ou seja, uma na qual o colchete de Lie é identicamente 0.
Ver também Álgebra exterior, o análogo na álgebra alternada Álgebra simétrica graduada, uma generalização comum de uma álgebra simétrica e uma álgebra exterior Álgebra de Weyl, uma deformação quântica da álgebra simétrica por uma forma simplética Álgebra de Clifford, uma deformação quântica da álgebra exterior por uma forma quadrática Construção Proj#Proj de um feixe quase coerente, uma aplicação das álgebras simétricas na geometria algébrica
Bibliografia
Categoria:Álgebras Categoria:Álgebra multilinear Categoria:Polinómios Categoria:Teoria dos anéis