Derivações das transformações de Lorentz

Existem muitas maneiras de derivar as transformações de Lorentz usando uma variedade de princípios físicos, desde as equações de Maxwell até os postulados da relatividade restrita de Einstein, e ferramentas matemáticas, abrangendo desde a álgebra elementar e funções hiperbólicas até a álgebra linear e a teoria dos grupos.

Este artigo fornece algumas das mais fáceis de seguir no contexto da relatividade restrita, para o caso mais simples de um boost de Lorentz na configuração padrão, ou seja, dois referenciais inerciais movendo-se relativamente um ao outro com velocidade relativa constante (uniforme) menor que a velocidade da luz, e usando coordenadas cartesianas de modo que os eixos x e x′ sejam colineares.

Transformação de Lorentz

Nos ramos fundamentais da física moderna, nomeadamente a relatividade geral e seu subconjunto amplamente aplicável a relatividade restrita, bem como a mecânica quântica relativística e a teoria quântica de campos relativística, a transformação de Lorentz é a regra de transformação sob a qual todos os quadrivetores e tensores contendo grandezas físicas transformam de um referencial para outro.

Os principais exemplos de tais quadrivetores são a quadriposição e o quadrimomento de uma partícula, e para campos o tensor eletromagnético e o tensor energia-momento. O fato de que esses objetos se transformam de acordo com a transformação de Lorentz é o que matematicamente os define como vetores e tensores; veja tensor para uma definição.

Dadas as componentes dos quadrivetores ou tensores em algum referencial, a "regra de transformação" permite determinar as componentes alteradas dos mesmos quadrivetores ou tensores em outro referencial, que pode ser impulsionado ou acelerado, em relação ao referencial original. Um "boost" não deve ser confundido com translação espacial, mas sim é caracterizado pela velocidade relativa entre os referenciais. A própria regra de transformação depende do movimento relativo dos referenciais. No caso mais simples de dois referenciais inerciais, a velocidade relativa entre eles entra na regra de transformação. Para referenciais rotativos ou referenciais não inerciais gerais, mais parâmetros são necessários, incluindo a velocidade relativa (magnitude e direção), o eixo de rotação e o ângulo girado.

Antecedentes históricos

O tratamento usual (por exemplo, o trabalho original de Albert Einstein) é baseado na invariância da velocidade da luz. No entanto, este não é necessariamente o ponto de partida: de fato (como é descrito, por exemplo, no segundo volume do Curso de Física Teórica de Landau e Lifshitz), o que está realmente em jogo é a localidade das interações: supõe-se que a influência que uma partícula exerce sobre outra não pode ser transmitida instantaneamente. Assim, existe uma velocidade máxima teórica de transmissão de informação que deve ser invariante, e verifica-se que esta velocidade coincide com a velocidade da luz no vácuo. O próprio Newton considerou a ideia da ação à distância filosoficamente "absurda" e sustentou que a gravidade teria que ser transmitida por algum agente de acordo com certas leis.

Michelson e Morley em 1887 projetaram um experimento, empregando um interferômetro e um espelho semiprateado, que era suficientemente preciso para detectar o fluxo do éter. O sistema de espelhos refletia a luz de volta para o interferômetro. Se houvesse um arrastamento do éter, isso produziria um deslocamento de fase e uma mudança na interferência que seria detectada. No entanto, nenhum deslocamento de fase foi encontrado. O resultado negativo do experimento de Michelson-Morley deixou o conceito de éter (ou seu arrastamento) enfraquecido. Houve consequente perplexidade quanto ao porquê a luz evidentemente se comporta como uma onda, sem qualquer meio detectável através do qual a atividade ondulatória pudesse se propagar.

Em um artigo de 1964, Erik Christopher Zeeman mostrou que a propriedade de preservação da causalidade, uma condição mais fraca em um sentido matemático do que a invariância da velocidade da luz, é suficiente para garantir que as transformações de coordenadas são as transformações de Lorentz. O artigo de Norman Goldstein mostra um resultado semelhante usando inercialidade (a preservação de linhas temporais) em vez de causalidade.

Princípios físicos Einstein baseou sua teoria da relatividade restrita em dois postulados fundamentais. Primeiro, todas as leis físicas são as mesmas para todos os referenciais inerciais, independentemente de seu estado de movimento relativo; e segundo, a velocidade da luz no espaço livre é a mesma em todos os referenciais inerciais, novamente, independentemente da velocidade relativa de cada referencial. A transformação de Lorentz é fundamentalmente uma consequência direta deste segundo postulado.

O segundo postulado Assuma o segundo postulado da relatividade restrita afirmando a constância da velocidade da luz, independente do referencial, e considere uma coleção de sistemas de referência movendo-se uns em relação aos outros com velocidade constante, ou seja, sistemas inerciais, cada um dotado de seu próprio conjunto de coordenadas cartesianas rotulando os pontos, ou seja, eventos do espaçotempo. Para expressar a invariância da velocidade da luz em forma matemática, fixe dois eventos no espaçotempo, a serem registrados em cada referencial. Seja o primeiro evento a emissão de um sinal de luz, e o segundo evento sua absorção.

Escolha qualquer referencial na coleção. Em suas coordenadas, ao primeiro evento serão atribuídas coordenadas , e ao segundo . A distância espacial entre emissão e absorção é , mas esta é também a distância percorrida pelo sinal. Pode-se, portanto, estabelecer a equação

Todo outro sistema de coordenadas registrará, em suas próprias coordenadas, a mesma equação. Esta é a consequência matemática imediata da invariância da velocidade da luz. A quantidade à esquerda é chamada de intervalo espaçotemporal. O intervalo é, para eventos separados por sinais de luz, o mesmo (zero) em todos os referenciais e, portanto, é chamado de invariante.

Invariância do intervalo Para que a transformação de Lorentz tenha o significado físico realizado pela natureza, é crucial que o intervalo seja uma quantidade invariante para quaisquer dois eventos, não apenas para aqueles separados por sinais de luz. Para estabelecer isso, considera-se um intervalo infinitesimal,

como registrado em um sistema . Seja outro sistema atribuindo o intervalo aos mesmos dois eventos infinitesimalmente separados. Uma vez que se , então o intervalo também será zero em qualquer outro sistema (segundo postulado), e como e são infinitesimais da mesma ordem, eles devem ser proporcionais entre si,

De que pode depender? Não pode depender das posições dos dois eventos no espaçotempo, pois isso violaria a postulada homogeneidade do espaçotempo. Pode depender da velocidade relativa entre e , mas apenas da rapidez, não da direção, pois o último violaria a isotropia do espaço.

Agora traga os sistemas e ,

Disto segue,

Agora, observa-se que no lado direito depende tanto de quanto de ; bem como do ângulo entre os vetores e . No entanto, também se observa que o lado esquerdo não depende deste ângulo. Assim, a única maneira da equação ser verdadeira é se a função é uma constante. Além disso, pela mesma equação, esta constante é unitária. Portanto,

para todos os sistemas . Como isso vale para todos os intervalos infinitesimais, vale para todos os intervalos.

A maioria, senão todas, as derivações das transformações de Lorentz tomam isso como garantido. Nessas derivações, eles usam apenas a constância da velocidade da luz (invariância de eventos separados tipo luz). Este resultado garante que a transformação de Lorentz é a transformação correta.

Enunciado rigoroso e prova da proporcionalidade de ds2 e ds′2

Teorema: Sejam inteiros, e um espaço vetorial sobre de dimensão . Seja um produto interno indefinido em com assinatura tipo . Suponha que é uma forma bilinear simétrica em tal que o conjunto nulo da forma quadrática associada de está contido no de (isto é, suponha que para todo , se então ). Então, existe uma constante tal que . Além disso, se assumirmos e que também tem assinatura tipo , então temos .

Configuração padrão

thumb|right|300px|As coordenadas espaçotemporais de um evento, medidas por cada observador em seu referencial inercial (em configuração padrão) são mostradas nos balões de fala.Acima: referencial F′ move-se com velocidade v ao longo do eixo x do referencial F.Abaixo: referencial F move-se com velocidade −v ao longo do eixo x′ do referencial F′.University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (edição original), Addison-Wesley (Pearson International), 1ª Edição: 1949, 12ª Edição: 2008,

O intervalo invariante pode ser visto como uma função distância não positiva definida no espaçotempo. O conjunto de transformações procuradas deve deixar esta distância invariante. Devido à natureza cartesiana do sistema de coordenadas do referencial, conclui-se que, como no caso euclidiano, as transformações possíveis são compostas por translações e rotações, onde um significado ligeiramente mais amplo deve ser permitido para o termo rotação.

O intervalo é trivialmente invariante sob translação. Para rotações, existem quatro coordenadas. Portanto, há seis planos de rotação. Três deles são rotações em planos espaciais. O intervalo também é invariante sob rotações comuns.

Resta encontrar uma "rotação" nos três planos de coordenadas restantes que deixe o intervalo invariante. Equivalentemente, encontrar uma maneira de atribuir coordenadas de modo que coincidam com as coordenadas correspondentes a um referencial em movimento.

O problema geral é encontrar uma transformação tal que

Para resolver o problema geral, pode-se usar o conhecimento sobre a invariância do intervalo de translações e rotações comuns para assumir, sem perda de generalidade, que os referenciais e estão alinhados de tal forma que seus eixos coordenados se encontram em e que os eixos e estão permanentemente alinhados e o sistema tem velocidade ao longo do semieixo . Chame isso de configuração padrão. Isso reduz o problema geral a encontrar uma transformação tal que

A configuração padrão é usada na maioria dos exemplos abaixo. Uma solução linear do problema mais simples

resolve o problema mais geral, pois as diferenças de coordenadas então se transformam da mesma maneira. A linearidade é frequentemente assumida ou argumentada de alguma forma na literatura quando este problema mais simples é considerado. Se a solução para o problema mais simples não for linear, então ela não resolve o problema original por causa dos termos cruzados que aparecem ao expandir os quadrados.

As soluções Como mencionado, o problema geral é resolvido por translações no espaçotempo. Estas não aparecem como uma solução para o problema mais simples proposto, enquanto os boosts aparecem (e às vezes rotações dependendo do ângulo de ataque). Existem ainda mais soluções se apenas insistirmos na invariância do intervalo para eventos separados tipo luz. Estas são transformações conformes ("que preservam ângulos") não lineares. Tem-se