direita|miniaturadaimagem|Uma esfera rotacionando (girando) em torno de um eixo
Rotação, também conhecida como movimento rotacional ou movimento rotatório, é o movimento de um objeto que deixa pelo menos um ponto inalterado. Em 2 dimensões, uma figura plana pode rotacionar em sentido horário ou anti-horário em torno de um ponto chamado de centro de rotação. Em 3 dimensões, uma figura sólida rotaciona em torno de uma linha imaginária chamada de eixo de rotação.
O caso especial de uma rotação com um eixo interno passando pelo próprio centro de massa do corpo é conhecido como rotação própria (ou spin / autorrotação). Nesse caso, a interseção da superfície do eixo de rotação própria interno pode ser chamada de polo; por exemplo, a rotação da Terra define os polos geográficos. Uma rotação em torno de um eixo completamente externo ao corpo em movimento é chamada de revolução (ou órbita), como em uma órbita planetária, por exemplo, a órbita da Terra ao redor do Sol. As extremidades do eixo de revolução externo podem ser chamadas de polos orbitais.
Ambos os tipos de rotação estão envolvidos em um tipo correspondente de velocidade angular (velocidade angular de rotação própria e velocidade angular orbital) e momento angular (momento angular de rotação própria e momento angular orbital).
Matemática
direita|miniaturadaimagem|Rotação (deslocamento angular) de uma figura plana em torno de um ponto thumb|Órbita rotacional versus rotação própria thumb|direita|Relações entre o eixo de rotação, plano da órbita e inclinação axial (para a Terra)
Matematicamente, uma rotação é um movimento de corpo rígido que, ao contrário de uma translação, mantém pelo menos um ponto fixo. Esta definição aplica-se a rotações em duas dimensões (em um plano), nas quais exatamente um ponto é mantido fixo; e também em três dimensões (no espaço), nas quais pontos adicionais podem ser mantidos fixos (como na rotação em torno de um eixo fixo, como uma linha infinita).
Todos os movimentos de corpo rígido são rotações, translações ou combinações dos dois.
Uma rotação é simplesmente uma orientação radial progressiva em relação a um ponto comum. Esse ponto comum encontra-se dentro do eixo desse movimento. O eixo é perpendicular ao plano do movimento.
Se uma rotação em torno de um ponto ou eixo é seguida por uma segunda rotação em torno do mesmo ponto/eixo, uma terceira rotação resulta. A inversa (inversa) de uma rotação também é uma rotação. Assim, as rotações em torno de um ponto/eixo formam um grupo. No entanto, uma rotação em torno de um ponto ou eixo e uma rotação em torno de um ponto/eixo diferente podem resultar em algo que não é uma rotação, por exemplo, uma translação.
Rotações em torno dos eixos x, y e z são chamadas de rotações principais. A rotação em torno de qualquer eixo pode ser realizada tomando uma rotação em torno do eixo x, seguida por uma rotação em torno do eixo y, e seguida por uma rotação em torno do eixo z. Isto é, qualquer rotação espacial pode ser decomposta em uma combinação de rotações principais.
Eixo fixo versus ponto fixo A combinação de qualquer sequência de rotações de um objeto em três dimensões em torno de um ponto fixo é sempre equivalente a uma rotação em torno de um eixo (que pode ser considerada como uma rotação no plano de rotação que é perpendicular a esse eixo). Da mesma forma, a taxa de rotação de um objeto em três dimensões em qualquer instante é em torno de algum eixo, embora esse eixo possa estar mudando ao longo do tempo.
Em dimensões diferentes de três, não faz sentido descrever uma rotação como sendo em torno de um eixo, uma vez que mais de um eixo através do objeto pode ser mantido fixo; em vez disso, rotações simples são descritas como sendo em um plano. Em quatro ou mais dimensões, uma combinação de duas ou mais rotações em torno de um plano não é, em geral, uma rotação em um único plano.
Eixo de rotações bidimensionais
Rotações bidimensionais, ao contrário das tridimensionais, não possuem eixo de rotação, apenas um ponto em torno do qual a rotação ocorre. Isso é equivalente, para transformações lineares, a dizer que não há direção no plano que seja mantida inalterada por uma rotação bidimensional, exceto, claro, a identidade.
A questão da existência de tal direção é a questão da existência de um autovetor para a matriz A que representa a rotação. Toda rotação 2D em torno da origem através de um ângulo no sentido anti-horário pode ser bastante simplesmente representada pela seguinte matriz:
Uma determinação padrão de autovalor leva à equação característica
que tem
como seus autovalores. Portanto, não há autovalor real sempre que , significando que nenhum vetor real no plano é mantido inalterado por A.
Ângulo e eixo de rotação em 3 dimensões
Sabendo que o traço é um invariante, o ângulo de rotação para uma matriz de rotação 3x3 ortogonal própria é encontrado por
Usando o arco-cosseno principal, esta fórmula fornece um ângulo de rotação satisfazendo . O eixo de rotação correspondente deve ser definido para apontar em uma direção que limite o ângulo de rotação a não exceder 180 graus. (Isso sempre pode ser feito porque qualquer rotação de mais de 180 graus em torno de um eixo sempre pode ser escrita como uma rotação tendo se o eixo for substituído por .)
Toda rotação própria no espaço 3D tem um eixo de rotação, que é definido de tal forma que qualquer vetor que esteja alinhado com o eixo de rotação não será afetado pela rotação. Consequentemente, , e o eixo de rotação corresponde, portanto, a um autovetor da matriz de rotação associado a um autovalor de 1. Desde que o ângulo de rotação seja diferente de zero (ou seja, a rotação não é o tensor identidade), há uma e apenas uma tal direção. Como A tem apenas componentes reais, há pelo menos um autovalor real, e os dois autovalores restantes devem ser conjugados complexos um do outro (ver Autovalores e autovetores#Autovalores e o polinômio característico). Sabendo que 1 é um autovalor, segue-se que os dois autovalores restantes são conjugados complexos um do outro, mas isso não implica que eles sejam complexos — eles poderiam ser reais com multiplicidade dupla. No caso degenerado de um ângulo de rotação , os dois autovalores restantes são ambos iguais a −1. No caso degenerado de um ângulo de rotação zero, a matriz de rotação é a identidade, e todos os três autovalores são 1 (que é o único caso para o qual o eixo de rotação é arbitrário).
Uma análise espectral não é necessária para encontrar o eixo de rotação. Se denota o autovetor unitário alinhado com o eixo de rotação, e se denota o ângulo de rotação, então pode ser mostrado que . Consequentemente, a despesa de uma análise de autovalor pode ser evitada simplesmente normalizando este vetor se ele tiver uma magnitude diferente de zero. Por outro lado, se este vetor tiver magnitude zero, significa que . Em outras palavras, este vetor será zero se e somente se o ângulo de rotação for 0 ou 180 graus, e o eixo de rotação pode ser atribuído neste caso normalizando qualquer coluna de que tenha uma magnitude diferente de zero.Brannon, R.M., "Rotation, Reflection, and Frame Change", 2018
Esta discussão aplica-se a uma rotação própria, e portanto . Qualquer matriz 3x3 ortogonal imprópria pode ser escrita como , na qual é ortogonal própria. Isto é, qualquer matriz 3x3 ortogonal imprópria pode ser decomposta como uma rotação própria (da qual um eixo de rotação pode ser encontrado conforme descrito acima) seguida por uma inversão (multiplicação por −1). Segue-se que o eixo de rotação de é também o autovetor de correspondente a um autovalor de −1.
Plano de rotação
Assim como toda rotação tridimensional tem um eixo de rotação, toda rotação tridimensional também tem um plano, que é perpendicular ao eixo de rotação, e que é deixado invariante pela rotação. A rotação, restrita a este plano, é uma rotação 2D ordinária.
A prova procede de maneira semelhante à discussão acima. Primeiro, suponha que todos os autovalores da matriz de rotação 3D A sejam reais. Isso significa que há uma base ortogonal, feita pelos autovetores correspondentes (que são necessariamente ortogonais), sobre a qual o efeito da matriz de rotação é apenas esticá-la. Se escrevermos A nesta base, ela é diagonal; mas uma matriz ortogonal diagonal é feita apenas de +1s e −1s nas entradas diagonais. Portanto, não temos uma rotação própria, mas sim a identidade ou o resultado de uma sequência de reflexões.
Segue-se, então, que uma rotação própria tem algum autovalor complexo. Seja v o autovetor correspondente. Então, como mostramos no tópico anterior, também é um autovetor, e e são tais que seu produto escalar se anula:
porque, como é real, ele é igual ao seu conjugado complexo , e e são ambas representações do mesmo produto escalar entre e .
Isso significa que e são vetores ortogonais. Além disso, ambos são vetores reais por construção. Estes vetores geram o mesmo subespaço que e , que é um subespaço invariante sob a aplicação de A. Portanto, eles geram um plano invariante.
Este plano é ortogonal ao eixo invariante, que corresponde ao autovetor restante de A, com autovalor 1, devido à ortogonalidade dos autovetores de A.
Rotação de vetores Diz-se que um vetor está rotacionando se ele muda sua orientação. Este efeito é geralmente acompanhado apenas quando seu vetor de taxa de variação tem componente perpendicular diferente de zero em relação ao vetor original. Isso pode ser mostrado ser o caso considerando um vetor que é parametrizado por alguma variável para a qual:
O que também dá uma relação de taxa de variação do vetor unitário tomando , para ser tal vetor: mostrando que o vetor é perpendicular ao vetor .
De:
,
como o primeiro termo é paralelo a e o segundo perpendicular a ele, podemos concluir em geral que as componentes paralela e perpendicular da taxa de variação de um vetor influenciam independentemente apenas a magnitude ou a orientação do vetor, respectivamente. Logo, um vetor em rotação sempre tem uma componente perpendicular diferente de zero de seu vetor de taxa de variação contra o próprio vetor.
Em dimensões superiores
À medida que as dimensões aumentam, o número de vetores de rotação aumenta. Ao longo de um espaço quadridimensional (um hipervolume), as rotações ocorrem ao longo dos eixos x, y, z e w. Um objeto rotacionado em um eixo w intercepta vários volumes, onde cada interseção é igual a um volume autocontido em um ângulo. Isso dá origem a um novo eixo de rotação em um hipervolume 4D, onde um objeto 3D pode ser rotacionado perpendicularmente ao eixo z.
Física A velocidade de rotação é dada pela frequência angular (rad/s) ou frequência (voltas por tempo), ou período (segundos, dias, etc.). A taxa de variação temporal da frequência angular é a aceleração angular (rad/s2), causada pelo torque. A razão do torque para a aceleração angular é dada pelo momento de inércia:
O vetor da velocidade angular (um vetor axial) também descreve a direção do eixo de rotação. Da mesma forma, o torque é um vetor axial.
A física da rotação em torno de um eixo fixo é matematicamente descrita com a representação eixo-ângulo das rotações. De acordo com a regra da mão direita, a direção para longe do observador está associada à rotação no sentido horário e a direção em direção ao observador com a rotação no sentido anti-horário, como um parafuso.
Movimento circular thumb|O movimento à esquerda, um exemplo de translação curvilínea, não pode ser tratado como rotação uma vez que não há mudança na orientação, enquanto o da direita pode ser tratado como rotação. |264x264px