Na matemática, a conjetura jacobiana (ou conjectura jacobiana) é uma célebre conjetura concernente a polinômios em várias variáveis que afirma que, se uma função polinomial de um espaço de dimensão em si mesmo possui um determinante jacobiano que é uma constante não nula, então a função possui uma função inversa polinomial.
O caso (duas variáveis), também denominado conjetura jacobiana plana, é o único caso que permanece em aberto . O caso é trivialmente verdadeiro, uma vez que a derivada de um polinômio é uma constante não nula se, e somente se, o grau do polinômio for igual a , e funções polinomiais lineares são sempre invertíveis.
Em 19 de julho de 2026, Levent Alpöge apresentou um contraexemplo explícito em três variáveis, creditado ao modelo de inteligência artificial Claude Fable 5, o qual refutou a conjetura para . A exatidão do contraexemplo pode ser confirmada diretamente por meio de qualquer sistema de computação algébrica. Não foi revelado, contudo, o processo exato pelo qual o modelo o encontrou. O anúncio levou matemáticos a investigar as razões subjacentes e as implicações teóricas da existência de tais contraexemplos.
História A conjetura jacobiana foi originalmente formulada, sem receber denominação formal, para duas dimensões por Ludwig Kraus em 1884, que forneceu uma demonstração incorreta no mesmo artigo. Mais tarde, a formulação moderna da conjetura jacobiana em dimensão foi proposta por Ott-Heinrich Keller em 1939 para o caso de polinômios com coeficientes inteiros. Arno van den Essen afirmou que Keller havia tratado unicamente do caso bidimensional; contudo, Keller discutiu de fato o caso geral em dimensão arbitrária. Por quase um século, Keller foi considerado o primeiro a enunciar a proposição, até que uma busca realizada em 2025 no banco de dados zbMATH revelou que a formulação bidimensional já havia sido publicada por Kraus.
A conjetura não possuía nome específico nas publicações originais de Kraus ou de Keller. A data precisa em que a expressão "conjetura jacobiana" foi cunhada é incerta, mas deve-se ao fato de envolver o determinante jacobiano, nomeado em homenagem ao matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi. O registro publicado mais antigo dessa denominação consta em um artigo de Masayoshi Miyanishi de 1973, referindo-se à versão em dimensão . recordou posteriormente que, após Oscar Zariski apontar em um seminário na Universidade de Purdue no final dos anos 1960 que a asserção permanecia sem demonstração, "decidimos chamá-la de Conjetura Jacobiana". Alexander Borisov atribuiu a criação do termo especificamente a Shreeram Abhyankar, cujas notas de aula de 1977 trataram do problema bidimensional e apresentaram resultados obtidos em 1970–71.
O problema, também chamado de problema jacobiano, foi subsequentemente popularizado por Abhyankar como um exemplo notável de questão profunda em geometria algébrica cujo enunciado requer pouco mais que conhecimentos básicos de cálculo diferencial e integral. A conjetura jacobiana figura como o problema de número 16 na lista de problemas matemáticos para o século XXI compilada por Stephen Smale em 1998.
De acordo com Alexander Borisov, o caso bidimensional foi intensamente investigado na literatura matemática. Historicamente, diversos pesquisadores, como Shreeram Abhyankar, Tzuong-Tsieng Moh e Yitang Zhang, empregaram os termos conjetura jacobiana ou problema jacobiano para aludir exclusivamente à conjetura em duas variáveis. Ao longo das décadas, surgiram inúmeras demonstrações incorretas para o caso bidimensional, algumas das quais chegaram a ser publicadas. Arno van den Essen em 1997, Tzuong-Tsieng Moh em 1998 e Edward Formanek em 2011 formularam a hipótese de que a afirmação poderia ser verdadeira para duas variáveis e falsa no caso multidimensional geral. Com a descoberta do contraexemplo tridimensional em 2026, apenas a conjetura em duas dimensões permanece sem solução.
Formulação da conjetura Seja um número inteiro fixado e considerem-se os polinômios nas variáveis com coeficientes em um corpo . Define-se uma função vetorial pondo:
Toda aplicação construída dessa maneira é denominada uma aplicação polinomial.
O determinante jacobiano de , denotado por , é definido como o determinante da matriz jacobiana de ordem formada pelas derivadas parciais de em relação a :
de modo que é, ele próprio, uma função polinomial nas variáveis .
Decorre da regra da cadeia multivariável que, se possui uma função inversa polinomial , então possui um recíproco polinomial, devendo ser necessariamente uma constante não nula. A conjetura jacobiana é a recíproca parcial enunciada a seguir:
Conjetura jacobiana: Seja um corpo de característica . Se é uma constante não nula, então possui uma função inversa que é regular, isto é, cujas componentes são polinômios. A condição relaciona-se com o teorema da função inversa no cálculo diferencial de várias variáveis. De fato, para funções diferenciáveis (e, em particular, para polinômios), uma função inversa suave local para existe em todo ponto onde seja não nulo. Isso implica que existe uma vizinhança de cada um desses pontos que é mapeada bijetivamente sobre sua imagem. Por exemplo, a função real possui uma inversa suave global, porém a sua inversa não é polinomial. Uma função diferenciável com jacobiano não nulo é igualmente invertível localmente em dimensões superiores. Por exemplo, a aplicação aplica em si mesmo (ou em si mesmo) e possui jacobiano constante igual a 1. Intuitivamente, isso significa que ela deforma o plano sem expandir nem contrair áreas localmente, de forma que não pode criar vincos ou outras degenerações locais: um pequeno disco em torno de cada ponto é mapeado de forma biunívoca sobre um pequeno domínio na imagem. Apesar disso, a função envia todos os pontos da forma , com , para o mesmo ponto , fazendo com que distintas regiões do plano se sobreponham na imagem. O análogo da conjetura jacobiana é, portanto, falso para aplicações analíticas gerais; a conjetura é difícil precisamente porque exige que a transformação seja expressa por polinômios.
Além da injetividade, a conjetura jacobiana distingue-se das aplicações analíticas porque toda aplicação polinomial injetiva de em si mesmo é automaticamente sobrejetiva. Isso não se verifica para aplicações analíticas gerais: para , um célebre exemplo de Pierre Fatou e Ludwig Bieberbach demonstra que a imagem de uma aplicação analítica injetiva pode omitir um subconjunto aberto não vazio de .
Resultados
Resultados gerais e reduções O caso de polinômios sobre um corpo de característica zero pode ser reduzido a por meio da aplicação do princípio de Lefschetz. Além disso, se é uma aplicação injetiva, pode-se demonstrar que ela já é bijetiva com inversa regular (conforme o teorema de Ax-Grothendieck).
Muitos casos particulares e reduções da conjetura jacobiana foram obtidos nas décadas que antecederam sua refutação em 2026 para . Diante do contraexemplo, os resultados parciais positivos descrevem agora condições obrigatórias que qualquer contraexemplo deve violar, enquanto os teoremas de redução indicam que contraexemplos dotados de estruturas algébricas bastante particulares também devem existir.
A existência de uma inversa polinomial é evidente se for composta por funções lineares nas variáveis, pois a inversa será igualmente expressa por transformações lineares. Todavia, diferentemente do caso unidimensional, em duas ou mais dimensões existem transformações polinomiais não lineares com determinante jacobiano constante que possuem inversa polinomial. Um exemplo quadrático simples é dado por:
cujo determinante jacobiano é:
Neste caso, a inversa é dada pelos polinômios:
Stuart Sui-Sheng Wang demonstrou a conjetura jacobiana para polinômios de grau 2, de modo que qualquer contraexemplo deve ter grau igual ou superior a 3. Hyman Bass, Edwin Connell e David Wright demonstraram que o caso geral decorre do caso especial em que os polinômios têm grau 3 ou, mais especificamente, são do tipo cúbico homogêneo, isto é, da forma , onde cada é nulo ou um polinômio homogêneo de grau 3. Ludwik Drużkowski mostrou que se pode supor adicionalmente que a aplicação seja do tipo cúbico linear, o que significa que os termos não nulos são cubos de formas lineares homogêneas. Essas reduções introduzem variáveis adicionais e, portanto, não preservam uma dimensão fixa.
Edwin Connell e Lou van den Dries provaram que, se a conjetura jacobiana fosse falsa, admitiria necessariamente um contraexemplo com coeficientes inteiros e determinante jacobiano igual a 1.
Seja o anel de polinômios e seja a -subálgebra gerada por . Para uma dada transformação , a condição jacobiana implica invertibilidade se e somente se . Keller (1939) demonstrou o caso birracional, no qual os corpos de funções e são idênticos. O caso em que é uma extensão de Galois de foi provado por Andrew Campbell para aplicações complexas e generalizado por Michael Razar e, de forma independente, por David Wright. Portanto, nenhum contraexemplo pode ser birracional ou definir uma extensão galoisiana; em consonância com isso, o contraexemplo tridimensional de 2026 é genericamente do tipo três-para-um.
Michiel de Bondt e Arno van den Essen e Ludwik Drużkowski demonstraram independentemente que o caso geral da conjetura é equivalente ao caso particular de transformações complexas cúbicas homogêneas com matriz jacobiana simétrica, de sorte que contraexemplos com essa simetria também existem. Demonstraram ainda que a conjetura se sustenta para aplicações cúbicas lineares com matriz jacobiana simétrica sobre qualquer corpo de característica ; assim, contraexemplos com essa estrutura duplamente restrita são impossíveis, indicando que as reduções cúbica linear e simétrica não podem ser satisfeitas em simultâneo.
A chamada conjetura jacobiana real forte postulava que uma aplicação polinomial real com determinante jacobiano estritamente não nulo em todo o espaço possuiria uma inversa suave global. Isso equivale a indagar se tal aplicação é topologicamente uma aplicação própria, hipótese na qual ela atua como uma aplicação de cobertura de uma variedade simplesmente conexa, sendo, portanto, um difeomorfismo global. Sergey Pinchuk construiu em 1994 um contraexemplo para a conjetura jacobiana real forte com polinômios de grau total 35. Como as transformações de Pinchuk possuem determinante jacobiano que varia com as coordenadas (não sendo constante), elas não refutaram a conjetura jacobiana algébrica original.
Para , a conjetura de Dixmier postula que todo endomorfismo da -ésima álgebra de Weyl sobre um corpo de característica zero é um automorfismo. Para cada , a conjetura de Dixmier para implica a conjetura jacobiana em dimensão . Em contrapartida, Yoshifumi Tsuchimoto e, independentemente, Alexei Belov-Kanel e Maxim Kontsevich demonstraram que a conjetura jacobiana em variáveis acarreta a conjetura de Dixmier para .
Kossivi Adjamagbo e Arno van den Essen forneceram uma demonstração algébrica autocontida e estabeleceram a cadeia precisa de implicações: onde denota a conjetura de Poisson para a álgebra de Poisson complexa canônica em variáveis. Em decorrência dessa equivalência estável, as formas irrestritas das conjeturas jacobiana, de Poisson e de Dixmier são equivalentes.
Como o contraexemplo de 2026 refutou para todo , as implicações demonstradas indicam que e são igualmente falsas para todo , permanecendo ambas abertas apenas para .