Em matemática, especificamente na álgebra linear, a decomposição de Jordan–Chevalley, nomeada em homenagem a Camille Jordan e Claude Chevalley, expressa um operador linear de maneira única como a soma de dois outros operadores lineares que são mais simples de entender. Especificamente, uma parte é potencialmente diagonalizável e a outra é nilpotente. As duas partes são polinômios no operador, o que faz com que se comportem bem em manipulações algébricas.
A decomposição possui uma descrição curta quando a forma normal de Jordan do operador é dada, mas ela existe sob hipóteses mais fracas do que as necessárias para a existência de uma forma normal de Jordan. Assim, a decomposição de Jordan–Chevalley pode ser vista como uma generalização da forma normal de Jordan, o que também se reflete em várias de suas demonstrações.
Ela está intimamente relacionada ao teorema principal de Wedderburn sobre álgebras associativas, o que também leva a vários análogos em álgebras de Lie. Análogos da decomposição de Jordan–Chevalley também existem para elementos de grupos algébricos lineares e grupos de Lie por meio de uma reformulação multiplicativa. A decomposição é uma ferramenta importante no estudo de todos esses objetos e foi desenvolvida para esse propósito.
Em muitos textos, a parte potencialmente diagonalizável também é caracterizada como a parte semissimples.
Introdução
Uma questão básica na álgebra linear é se um operador em um espaço vetorial de dimensão finita pode ser diagonalizado. Por exemplo, isso está intimamente relacionado aos autovalores do operador. Em diversos contextos, pode-se estar lidando com muitos operadores que não são diagonalizáveis. Mesmo sobre um corpo algebricamente fechado, uma diagonalização pode não existir. Nesse contexto, a forma normal de Jordan alcança o melhor resultado possível semelhante a uma diagonalização. Para operadores lineares sobre um corpo que não é algebricamente fechado, pode não haver nenhum autovetor. Este último ponto não é a principal preocupação tratada pela decomposição de Jordan–Chevalley. Para evitar esse problema, em vez disso, são considerados operadores potencialmente diagonalizáveis, que são aqueles que admitem uma diagonalização sobre algum corpo (ou, equivalentemente, sobre o fecho algébrico do corpo em consideração).
Os operadores que estão "mais distantes" de ser diagonalizáveis são os operadores nilpotentes. Um operador (ou, mais geralmente, um elemento de um anel) é dito nilpotente quando existe algum inteiro positivo tal que . Em diversos contextos da álgebra abstrata, a presença de elementos nilpotentes em um anel torna o trabalho com eles muito mais complicado. Até certo ponto, esse também é o caso dos operadores lineares. A decomposição de Jordan–Chevalley "separa" a parte nilpotente de um operador que faz com que ele não seja potencialmente diagonalizável. Assim, quando ela existe, as complicações introduzidas pelos operadores nilpotentes e sua interação com outros operadores podem ser compreendidas usando a decomposição de Jordan–Chevalley.
Historicamente, a decomposição de Jordan–Chevalley foi motivada por aplicações à teoria das álgebras de Lie e dos grupos algébricos lineares, conforme descrito nas seções abaixo.
Decomposição de um operador linear
Seja um corpo, um espaço vetorial de dimensão finita sobre , e um operador linear sobre (equivalentemente, uma matriz com entradas em ). Se o polinômio mínimo de se fatora totalmente (fatora em fatores lineares) sobre (por exemplo, se for algebricamente fechado), então possui uma forma normal de Jordan . Se for a diagonal de , seja a parte restante. Então é uma decomposição em que é diagonalizável e é nilpotente. Essa reexpressão da forma normal como uma decomposição aditiva não apenas torna o cálculo numérico mais estável, mas também pode ser generalizada para casos em que o polinômio mínimo de não se fatora totalmente.
Se o polinômio mínimo de se fatora em fatores lineares distintos, então é diagonalizável. Portanto, se o polinômio mínimo de for pelo menos separável, então é potencialmente diagonalizável. A decomposição de Jordan–Chevalley trata do caso mais geral em que o polinômio mínimo de é um produto de polinômios separáveis.
Seja qualquer operador linear no espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo . Uma decomposição de Jordan–Chevalley de é uma expressão dele como uma soma , onde é potencialmente diagonalizável, é nilpotente, e .
Várias demonstrações são discutidas em (). Dois argumentos também são descritos abaixo.
Se for um corpo perfeito, então todo polinômio é um produto de polinômios separáveis (já que todo polinômio é um produto de seus fatores irredutíveis, e estes são separáveis sobre um corpo perfeito). Portanto, nesse caso, a decomposição de Jordan–Chevalley sempre existe. Além disso, sobre um corpo perfeito, um polinômio é separável se e somente se for livre de quadrados. Assim, um operador é potencialmente diagonalizável se e somente se seu polinômio mínimo for livre de quadrados. Em geral (sobre qualquer corpo), o polinômio mínimo de um operador linear é livre de quadrados se e somente se o operador for semissimples. (Em particular, a soma de dois operadores semissimples que comutam é sempre semissimples sobre um corpo perfeito. A mesma afirmação não é verdadeira sobre corpos gerais.) A propriedade de ser semissimples é mais relevante do que ser potencialmente diagonalizável na maioria dos contextos em que a decomposição de Jordan–Chevalley é aplicada, como em álgebras de Lie. Por essas razões, muitos textos se restringem ao caso de corpos perfeitos.
Demonstração da unicidade e necessidade
O fato de e serem polinômios em implica, em particular, que eles comutam com qualquer operador que comute com . Essa observação fundamenta a demonstração de unicidade.
Seja uma decomposição de Jordan–Chevalley na qual e (portanto, também) sejam polinômios em . Seja qualquer outra decomposição de Jordan–Chevalley. Então , e ambos comutam com , portanto com já que estes são polinômios em . A soma de operadores nilpotentes que comutam é novamente nilpotente, e a soma de operadores potencialmente diagonalizáveis que comutam é novamente potencialmente diagonalizável (porque eles são simultaneamente diagonalizáveis sobre o fecho algébrico de ). Como o único operador que é tanto potencialmente diagonalizável quanto nilpotente é o operador nulo, segue que .
Para mostrar que a condição de ter um polinômio mínimo que é produto de polinômios separáveis é necessária, suponha que seja alguma decomposição de Jordan–Chevalley. Seja o polinômio mínimo separável de ; pode-se verificar usando o teorema do binômio que pode ser escrito como , onde é algum polinômio em . Além disso, para algum , temos . Assim, , e portanto o polinômio mínimo de deve dividir . Como é um produto de polinômios separáveis (a saber, de cópias de ), o mesmo vale para o polinômio mínimo.
Exemplo concreto de não existência
Se o corpo base não for perfeito, então uma decomposição de Jordan–Chevalley pode não existir, pois é possível que o polinômio mínimo não seja um produto de polinômios separáveis. O exemplo mais simples é o seguinte. Seja um número primo, seja um corpo imperfeito de característica (por exemplo, ), e escolha que não seja uma potência -ésima. Seja , seja a imagem no quociente, e seja o operador -linear dado pela multiplicação por em . Note que o polinômio mínimo é precisamente , que é inseparável e um quadrado. Pela necessidade da condição para a decomposição de Jordan–Chevalley (conforme mostrado na seção anterior), esse operador não possui uma decomposição de Jordan–Chevalley. Pode ser instrutivo ver concretamente por que não existe, no mínimo, nenhuma decomposição em uma parte livre de quadrados e uma parte nilpotente.
Argumento concreto para a não existência de uma decomposição de Jordan–ChevalleyNote que tem como seus subespaços -lineares invariantes precisamente os ideais de vistos como anel, os quais correspondem aos ideais de contendo . Como é irredutível em , os ideais de são , e . Suponha que para operadores -lineares e que comutam e que sejam, respectivamente, semissimples (apenas sobre , o que é mais fraco do que a semissimplicidade sobre um fecho algébrico de e também mais fraco do que ser potencialmente diagonalizável) e nilpotente. Como e comutam, cada um deles comuta com e, portanto, cada um atua -linearmente em . Portanto, e são dados pela multiplicação por respectivos membros de : e , com . Como é nilpotente, é nilpotente em , logo em , pois é um corpo. Assim, , de modo que para algum polinômio . Além disso, vemos que . Como tem característica , temos . Por outro lado, como em , temos , e portanto em . Como , temos . Combinando esses resultados, obtemos . Isso mostra que gera como uma -álgebra e, portanto, os subespaços -lineares -estáveis de são ideais de , ou seja, são , e . Vemos que é um subespaço -invariante de que não possui subespaço suplementar -invariante, contrariando a suposição de que é semissimples. Assim, não há decomposição de como uma soma de operadores -lineares que comutam e sejam, respectivamente, semissimples e nilpotentes.
Se, em vez do polinômio , a mesma construção for realizada com , o operador resultante ainda não admite uma decomposição de Jordan–Chevalley pelo teorema principal. No entanto, é semissimples. A decomposição trivial , portanto, expressa como uma soma de um operador semissimples e um nilpotente, ambos sendo polinômios em .
Demonstração elementar de existência Esta construção é semelhante ao lema de Hensel, no sentido de que usa um análogo algébrico do teorema de Taylor para encontrar um elemento com uma certa propriedade algébrica via uma variante do método de Newton. Nesta forma, ela foi retirada de ().
Seja com polinômio mínimo e assuma que este seja um produto de polinômios separáveis. Essa condição é equivalente a exigir que exista algum polinômio separável tal que e para algum . Pelo lema de Bézout, existem polinômios e tais que . Isso pode ser usado para definir uma recursão , começando com . Seja a álgebra de operadores que são polinômios em ; pode-se verificar por indução que, para todo :
porque, em cada etapa, aplica-se um polinômio, porque para algum (pela versão algébrica do teorema de Taylor). Pela definição de , bem como de e , isso se simplifica para , o que de fato pertence a pela hipótese de indução, porque e ambos os termos estão em , o primeiro pelo ponto anterior e o segundo pela hipótese de indução.
Assim, logo que , teremos pelo segundo ponto, já que e , de modo que o polinômio mínimo de dividirá e, portanto, será separável. Além disso, será um polinômio em pelo primeiro ponto e será nilpotente pelo terceiro ponto (de fato, ). Portanto, é a decomposição de Jordan–Chevalley de . C.Q.D.
Essa demonstração, além de ser completamente elementar, tem a vantagem de ser algorítmica: pelo teorema de Cayley–Hamilton, pode ser tomado como o polinômio característico de , e em muitos contextos, pode ser determinado a partir de . Então pode ser determinado usando o algoritmo de Euclides. A iteração de aplicar o polinômio à matriz pode então ser realizada até que (pois todos os valores posteriores serão iguais) ou exceda a dimensão do espaço vetorial no qual está definido (onde é o número de etapas de iteração realizadas, como acima).
Demonstração de existência via teoria de Galois