300px|thumb|Helicoide generalizado: o meridiano é uma parábola. Em geometria, um helicoide generalizado (ou superfície helicoidal generalizada) é uma superfície no espaço euclidiano gerada pela rotação e deslocamento simultâneo de uma curva, a curva de perfil, ao longo de uma reta, o seu eixo. Qualquer ponto da curva dada é a origem de uma hélice circular. Se a curva de perfil estiver contida em um plano que passa pelo eixo, ela é chamada de meridiano do helicoide generalizado. Exemplos simples de helicoides generalizados são os próprios helicoides ordinários, cujo meridiano é uma reta que intercepta o eixo ortogonalmente.
Os principais tipos de helicoides generalizados são: helicoides generalizados regrados: suas curvas de perfil são retas e as superfícies resultantes são superfícies regradas. helicoides generalizados circulares: suas curvas de perfil são circunferências.
Na matemática, os helicoides desempenham um papel essencial como superfícies mínimas. No campo técnico e da engenharia, os helicoides generalizados são amplamente utilizados em escadarias em espiral, escorregadores, parafusos e tubulações helicoidais.
Representação analítica 150px|thumb|Movimento helicoidal de um ponto verde: passo da hélice, azul: eixo helicoidal Movimento helicoidal de um ponto Mover um ponto segundo um movimento helicoidal significa que o ponto é rotacionado e transladado ao longo de uma reta (eixo) de tal forma que o deslocamento axial seja proporcional ao ângulo de rotação. A trajetória resultante é uma hélice circular.
Se o eixo de rotação for o eixo z, o movimento de um ponto pode ser descrito parametricamente por:
O parâmetro é denominado inclinação (ou passo reduzido), o ângulo , medido em radianos, é o ângulo de rotação helicoidal e é o passo da hélice (indicado em verde). A trajetória do ponto é uma hélice circular (em vermelho), contida na superfície de um cilindro circular reto cujo raio é a distância do ponto ao eixo z.
No caso de , a hélice é dita dextrorsa (à direita); caso contrário (), é dita sinistrorsa (à esquerda). (Para , o movimento reduz-se a uma rotação simples em torno do eixo z.)
Movimento helicoidal de uma curva O movimento helicoidal de uma curva dada por
produz um helicoide generalizado com a representação paramétrica:
As curvas paramétricas são hélices circulares. As curvas paramétricas são cópias congruentes da curva de perfil original.
Exemplo: Na primeira imagem acima, o meridiano gerador é uma parábola.
Helicoides generalizados regrados 400px|thumb|Helicoide generalizado regrado reto: fechado (à esquerda) e aberto (à direita) 400px|thumb|Tipos oblíquos: fechado (à esquerda) e aberto (à direita) thumb|350px|Tipo tangencial desenvolvível: definição (à esquerda) e exemplo Tipos Quando a curva de perfil é uma reta, obtém-se um helicoide generalizado regrado. Existem quatro configurações fundamentais: (1) A reta intercepta o eixo ortogonalmente. Obtém-se um helicoide ordinário (helicoide generalizado regrado reto fechado). (2) A reta intercepta o eixo, mas não ortogonalmente. Obtém-se um tipo oblíquo fechado. Se a reta dada e o eixo forem retas reversas, obtém-se uma superfície do tipo aberto, e o eixo central não pertence à superfície (conforme a imagem). (3) Se a reta geratriz e o eixo forem reversos e a reta estiver contida em um plano perpendicular ao eixo, obtém-se o tipo reto aberto (ou simplesmente helicoide aberto). (4) Se a reta e o eixo forem reversos e a reta não estiver contida em um plano perpendicular ao eixo, obtém-se o tipo oblíquo aberto.
As superfícies do tipo oblíquo realizam autointerseção (ver imagem), enquanto as do tipo reto (helicoides retos) não se autointerceptam.
Um caso geométrico notável ocorre quando a reta é reversa ao eixo e o produto de sua distância ao eixo pela sua inclinação é exatamente igual a . Nessa situação, a superfície é uma superfície desenvolvível tangencial gerada pelas tangentes da diretriz helicoidal: .
Observações: Os helicoides (abertos e fechados) são superfícies de Catalan. O tipo fechado (helicoide comum) é também um conoide. Os helicoides generalizados regrados não são superfícies algébricas.
Sobre os helicoides generalizados regrados fechados thumb|Autointerseção em helicoides generalizados regrados fechados Um helicoide generalizado regrado fechado possui uma reta geratriz de perfil que intercepta o eixo. Se essa reta de perfil for parametrizada por , obtém-se a seguinte representação paramétrica:
Se (helicoide comum), a superfície não se autointercepta. Se (tipo oblíquo), a superfície apresenta autointerseção e as curvas sobre a superfície
com
são formadas por pontos duplos. Existe um número infinito de curvas duplas de autointerseção. Quanto menor for , maiores serão as distâncias entre essas curvas duplas.
Sobre o tipo tangencial desenvolvível 400px|thumb|Desenvolvível tangencial: ramos regulares (em verde e azul) e a linha de cúspides diretriz (em roxo) Para uma diretriz helicoidal dada por
obtém-se a seguinte parametrização da superfície desenvolvível formada por suas retas tangentes:
O vetor normal à superfície é dado por:
Para , o vetor normal anula-se (vetor nulo), de modo que a curva diretriz é composta inteiramente por pontos singulares (arestas de recuo ou cúspides). Essa curva diretriz divide a superfície em duas folhas regulares distintas (ver imagem).
Helicoides generalizados circulares thumb|Meridiano formado por uma circunferência thumb|Curva de perfil como circunferência horizontal Existem 3 variantes notáveis de helicoides generalizados circulares:
(1) A circunferência geratriz atua como meridiano e não intercepta o eixo de rotação (ver imagem). (2) O plano que contém a circunferência é perpendicular à hélice descrita pelos centros dos círculos, gerando uma superfície tubular helicoidal. (3) O plano da circunferência é perpendicular ao eixo e intercepta o eixo central (ver imagem). Essa geometria foi amplamente utilizada na arquitetura em colunas salomônicas e altares barrocos.
Ver também Helicoide Superfície mínima Hélice Superfície regrada Superfície de Catalan Conoide Superfície de revolução
Ligações externas Gfrerrer: Kurven und Flächen, S. 47 mathcurve.com: circular generalized helicoid mathcurve.com: developable generalized helicoid mathcurve.com: ruled generalized helicoid K3Dsurf: 3d surface generator
Referências Elsa Abbena, Simon Salamon, Alfred Gray: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 3.ª edição, Studies in Advanced Mathematics, Chapman & Hall, 2006, , p. 470 E. Kreyszig: Differential Geometry. New York: Dover, p. 88, 1991. U. Graf, M. Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, , p. 218 K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen, 1967, p. 286
Categoria:Superfícies Categoria:Geometria diferencial