O teorema integral de Kirchhoff (por vezes denominado teorema integral de Fresnel–Kirchhoff)G. Kirchhoff, Ann. d. Physik. 1883, 2, 18, p. 663. é uma formulação fundamentada em uma integral de superfície que permite determinar o valor da solução da equação de onda escalar homogênea monocromática em um ponto arbitrário , a partir dos valores assumidos pela função e por sua derivada de primeira ordem em todos os pontos de uma superfície fechada arbitrária (sobre a qual se processa a integração) que envolva .Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics, 7th edition, 1999, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 418–421. O teorema é deduzido pela aplicação da segunda identidade de Green em conjunto com a equação de onda escalar homogênea, que anula o termo da integral de volume.
Forma integral
Onda monocromática Para uma onda monocromática, a relação integral expressa-se na forma:Introduction to Fourier Optics J. Goodman sec. 3.3.3
onde a integração é realizada sobre uma superfície fechada arbitrária que delimita um volume contendo o ponto de observação ; representa o número de onda; é a distância euclidiana de um elemento infinitesimal de superfície ao ponto ; é a componente espacial da solução da equação de onda escalar homogênea (isto é, a perturbação espaço-temporal é dada por ); é o vetor unitário normal ao elemento de superfície apontando para o interior do volume delimitado; e denota a derivada normal, definida operacionalmente por para um campo escalar .O operador del atua sobre as coordenadas das variáveis espaciais das funções e . Nota-se que, por convenção matemática nesta dedução, o vetor normal à superfície aponta para o interior do volume fechado; caso seja adotada a convenção padrão do vetor normal exterior, a integral adquire sinal oposto.
Essa integral pode ser reescrita sob a notação vetorial convencional como:
onde .
Onda não monocromática Uma formulação mais abrangente pode ser estabelecida para campos de ondas arbitrários não monocromáticos. A amplitude complexa do campo ondulatório pode ser representada por uma integral de Fourier na forma:
onde, pelo teorema da inversão de Fourier, tem-se:
Aplicando o teorema integral a cada componente espectral monocromática , obtém-se a expressão temporal geral de Kirchhoff:
onde os colchetes designam os valores calculados no tempo retardado, isto é, no instante .
Kirchhoff demonstrou que a equação acima pode ser simplificada em problemas de espalhamento óptico, dando origem à fórmula de difração de Kirchhoff, a qual fornece a justificativa teórica para o princípio de Huygens–Fresnel e introduz rigorosamente o fator de inclinação angular (fator de obliquidade).
Dedução da fórmula integral A demonstração do teorema fundamenta-se na aplicação da segunda identidade de Green:
onde o vetor unitário normal à superfície fechada aponta para o interior do volume . As funções escalares e são tomadas como soluções da equação de Helmholtz, ,O operador del atua sobre as coordenadas das variáveis de integração. onde representa o número de onda. Como ambas as funções satisfazem a equação de Helmholtz no domínio, o termo da integral de volume anula-se identicamente:restando unicamente a integral sobre a superfície de contorno:
Define-se como a função de onda monocromática a ser determinada e como a componente espacial de uma onda esférica emitida por uma fonte pontual localizada no ponto de observação : , onde é a distância euclidiana medida a partir de . A função exibe uma singularidade isolada em (o ponto ), onde deixa de ser diferenciável. Para contornar essa singularidade, isola-se o ponto mediante a introdução de uma pequena esfera interna de raio centrada em . O volume de integração passa a ser delimitado externamente pela superfície fechada arbitrária e internamente por .
A integral sobre a fronteira composta assume a forma:
Para a integração sobre a esfera interna , o vetor normal interior aponta para o centro (direção radial decrescente, ):
Substituindo o elemento de área por meio do ângulo sólido diferencial ():
Tomando o limite assintótico no qual o raio da esfera colapsa (), nota-se que , enquanto o primeiro e o terceiro termos entre colchetes anulam-se linearmente com . Pelo teorema da média para integrais, sendo contínua em , a integral angular sobre converge para:
Substituindo esse valor na equação das superfícies acopladas e renomeando as variáveis (, e ), obtém-se o enunciado formal do teorema:
Ver também Fórmula de difração de Kirchhoff Cálculo vetorial Integral de superfície Princípio de Huygens–Fresnel Frente de onda
Referências
Leitura adicional G. Woan, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press, 2010, . D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), Pearson Education, 2007, . Y. B. Band, Light and Matter: Electromagnetism, Optics, Spectroscopy and Lasers, John Wiley & Sons, 2010, . I. R. Kenyon, The Light Fantastic – Introduction to Classic and Quantum Optics, Oxford University Press, 2008, . R. G. Lerner, G. L. Trigg, Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), VCH publishers, 1991, . C. B. Parker, McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), McGraw-Hill, 1994, .
Categoria:Difração Categoria:Óptica física Categoria:Gustav Kirchhoff