miniatura|direita|Carl Friedrich Gauss em 1828
Na matemática, a geometria diferencial de superfícies trata da geometria diferencial de superfícies suaves com várias estruturas adicionais, mais frequentemente uma métrica riemanniana.
As superfícies têm sido amplamente estudadas sob várias perspectivas: extrinsecamente, no que se refere ao seu mergulho no espaço euclidiano, e intrinsecamente, refletindo propriedades determinadas unicamente pela distância na superfície medida ao longo de curvas nela contidas. Um dos conceitos fundamentais investigados é a curvatura gaussiana, primeiramente estudada a fundo por Carl Friedrich Gauss, que demonstrou que a curvatura era uma propriedade intrínseca de uma superfície, independente de seu mergulho isométrico no espaço euclidiano.
As superfícies surgem naturalmente como gráficos de funções de duas variáveis e, por vezes, aparecem na forma paramétrica ou como lugares geométricos associados a curvas espaciais. Um papel essencial em seu estudo tem sido desempenhado pelos grupos de Lie (no espírito do programa de Erlangen), nomeadamente os grupos de simetria do plano euclidiano, da esfera e do plano hiperbólico. Esses grupos de Lie podem ser empregados para descrever superfícies de curvatura gaussiana constante; eles também fornecem um componente indispensável na abordagem moderna da geometria diferencial intrínseca por meio de conexões. Por outro lado, as propriedades extrínsecas que dependem de um mergulho de uma superfície no espaço euclidiano também foram intensamente investigadas. Isso é bem ilustrado pelas equações de Euler-Lagrange não lineares no cálculo das variações: embora Euler tenha desenvolvido as equações de uma variável para compreender as geodésicas, definidas independentemente de um mergulho, uma das principais aplicações dadas por Lagrange às equações de duas variáveis foi para as superfícies mínimas, um conceito que só pode ser formulado em termos de um mergulho.
História miniatura|Bernhard Riemann (1826–1866) Os volumes de certas superfícies quádricas de revolução foram calculados por Arquimedes. O desenvolvimento do cálculo no século XVII forneceu uma maneira mais sistemática de calculá-los. A curvatura de superfícies gerais foi estudada pela primeira vez por Euler. Em 1760, ele demonstrou uma fórmula para a curvatura de uma seção plana de uma superfície e, em 1771, considerou superfícies representadas em forma paramétrica. Monge estabeleceu os fundamentos de sua teoria em sua memória clássica L'application de l'analyse à la géométrie, publicada em 1795. A contribuição definidora para a teoria das superfícies foi feita por Gauss em dois artigos notáveis redigidos em 1825 e 1827. Isso marcou um novo afastamento da tradição, pois, pela primeira vez, Gauss considerou a geometria intrínseca de uma superfície, ou seja, as propriedades que são determinadas unicamente pelas distâncias geodésicas entre pontos sobre a superfície, independentemente da maneira específica como a superfície está situada no espaço euclidiano ambiente. O resultado culminante, o Theorema Egregium de Gauss, estabeleceu que a curvatura gaussiana é um invariante intrínseco, isto é, invariante sob isometrias locais. Esse ponto de vista foi estendido a espaços de dimensão superior por Riemann e levou ao que hoje se conhece como geometria riemanniana. O século XIX foi a era de ouro para a teoria das superfícies, tanto sob o ponto de vista topológico quanto sob o diferencial-geométrico, com a maioria dos principais geômetras dedicando-se ao seu estudo. Darboux reuniu muitos resultados em seu tratado em quatro volumes Théorie des surfaces (1887–1896).
Visão geral O objeto matemático essencial é o de superfície regular. Embora as convenções variem em sua definição precisa, elas formam uma classe geral de subconjuntos do espaço euclidiano tridimensional () que capturam parte da noção familiar de "superfície". Ao analisar a classe de curvas situadas sobre tal superfície e o grau em que as superfícies as forçam a se curvar no , associa-se a cada ponto da superfície dois números, denominados curvaturas principais. A média aritmética de ambas é chamada de curvatura média da superfície, e o produto delas é denominado curvatura gaussiana.
Há muitos exemplos clássicos de superfícies regulares, incluindo: exemplos familiares, como planos, cilindros e esferas; superfícies mínimas, que são definidas pela propriedade de que sua curvatura média é nula em todos os pontos. Os exemplos mais conhecidos são o catenoide e o helicoide, embora muitas outras tenham sido descobertas. As superfícies mínimas também podem ser caracterizadas por propriedades associadas à área superficial, com a consequência de que fornecem um modelo matemático para a forma assumida por filmes de sabão quando esticados em uma armação de arame; superfícies regradas, que são superfícies que possuem pelo menos uma linha reta passando por cada um de seus pontos; os exemplos incluem o cilindro e o hiperboloide de uma folha.
Um resultado surpreendente de Carl Friedrich Gauss, conhecido como o Theorema Egregium, demonstrou que a curvatura gaussiana de uma superfície, que por sua definição tem a ver com o modo como as curvas sobre a superfície mudam de direção no espaço tridimensional, pode na verdade ser aferida pelos comprimentos das curvas contidas na superfície juntamente com os ângulos formados quando duas curvas se cruzam sobre ela. Terminologicamente, isso expressa que a curvatura gaussiana pode ser calculada a partir da primeira forma fundamental (também denominada tensor métrico) da superfície. A segunda forma fundamental, em contrapartida, é um objeto que codifica como os comprimentos e ângulos das curvas na superfície sofrem distorção quando as curvas são empurradas para fora da superfície.
Apesar de medirem diferentes aspectos de comprimento e ângulo, a primeira e a segunda formas fundamentais não são independentes uma da outra, satisfazendo certos vínculos conhecidos como as equações de Gauss-Codazzi. Um teorema de grande envergadura, frequentemente chamado de teorema fundamental da geometria diferencial de superfícies, assegura que, sempre que dois objetos satisfazem aos vínculos de Gauss–Codazzi, eles surgirão como a primeira e a segunda formas fundamentais de uma superfície regular.
Utilizando a primeira forma fundamental, é possível definir novos objetos em uma superfície regular. As geodésicas são curvas na superfície que satisfazem a uma determinada equação diferencial ordinária de segunda ordem especificada pela primeira forma fundamental. Elas estão conectadas de maneira direta ao estudo dos comprimentos de curvas; uma geodésica de comprimento suficientemente curto será sempre a curva de menor comprimento na superfície que conecta seus dois pontos extremos. Assim, as geodésicas são fundamentais para o problema de otimização de determinar o caminho mais curto entre dois pontos dados em uma superfície regular.
Também se pode definir o transporte paralelo ao longo de qualquer curva dada, o qual fornece uma prescrição para deformar um vetor tangente à superfície em um ponto da curva em vetores tangentes em todos os outros pontos da curva. Essa prescrição é determinada por uma equação diferencial ordinária de primeira ordem especificada pela primeira forma fundamental.
Os conceitos acima dizem respeito essencialmente ao cálculo multivariável. O teorema de Gauss-Bonnet é um resultado mais global, que relaciona a curvatura gaussiana de uma superfície ao seu tipo topológico. Ele afirma que o valor médio da curvatura gaussiana é completamente determinado pela característica de Euler da superfície juntamente com a sua área superficial.
Qualquer superfície regular é um exemplo tanto de uma variedade riemanniana quanto de uma superfície de Riemann. Essencialmente toda a teoria das superfícies regulares aqui tratada possui uma generalização na teoria das variedades riemannianas e suas subvariedades.
Superfícies regulares no espaço euclidiano
Definição É intuitivamente evidente que uma esfera é suave, enquanto um cone ou uma pirâmide, em razão de seu vértice ou de suas arestas, não o são. A noção de uma "superfície regular" formaliza rigorosamente o conceito de superfície suave. A definição utiliza a representação local de uma superfície por meio de aplicações entre espaços euclidianos. Há uma noção padrão de suavidade para tais aplicações: uma aplicação entre dois subconjuntos abertos do espaço euclidiano é suave se as suas derivadas parciais de todas as ordens existirem em todos os pontos do domínio.
Uma superfície regular no espaço euclidiano é um subconjunto de tal que todo ponto de admite qualquer uma das seguintes três caracterizações equivalentes: parametrizações locais, cartas de Monge ou funções implícitas. A tabela seguinte fornece as definições de tais objetos; as cartas de Monge são talvez as mais intuitivas visualmente, pois essencialmente afirmam que uma superfície regular é um subconjunto de que é localmente o gráfico de uma função suave (seja sobre uma região no plano , no plano ou no plano ).
miniatura|direita|upright|Uma parametrização local em forma de carta de Monge para o hemisfério superior da 2-esfera, obtida pela projeção no plano . Objetos Definição Parametrizações locais Uma vizinhança aberta para a qual existe um subconjunto aberto de e um homeomorfismo tal que: , como função , é infinitamente diferenciável (ou seja, suave); para cada ponto de , as duas derivadas parciais e são linearmente independentes como elementos de . Cartas de Monge Uma vizinhança aberta para a qual existe um subconjunto aberto de e uma função suave tal que uma das seguintes condições se verifica:
. Funções implícitas Uma vizinhança aberta para a qual existe uma função suave com:
em cada ponto de , pelo menos uma derivada parcial de é não nula. Os homeomorfismos que aparecem na primeira definição são denominados parametrizações locais, sistemas de coordenadas locais ou cartas locais sobre . A equivalência das duas primeiras definições assevera que, em torno de qualquer ponto de uma superfície regular, sempre existem parametrizações locais da forma , ou , conhecidas como cartas de Monge. Funções como na terceira definição são chamadas de funções definidoras locais. A equivalência de todas as três definições decorre do teorema da função implícita.
miniatura|direita|As mudanças de coordenadas entre diferentes cartas locais devem ser suaves. Dadas quaisquer duas parametrizações locais e de uma superfície regular, a composição é necessariamente suave como uma aplicação entre subconjuntos abertos de . Isso mostra que qualquer superfície regular possui naturalmente a estrutura de uma variedade suave, com um atlas suave sendo fornecido pelas inversas das parametrizações locais.
Na teoria clássica da geometria diferencial, as superfícies são comumente estudadas apenas no caso regular. É corrente, entretanto, estudar também superfícies não regulares, nas quais as duas derivadas parciais e de uma parametrização local podem deixar de ser linearmente independentes. Nesse caso, pode apresentar singularidades, tais como arestas de recuo (cúspides). Tais superfícies são tipicamente analisadas na teoria das singularidades. Outras formas enfraquecidas de superfícies regulares ocorrem no desenho assistido por computador, onde uma superfície é dividida em partes disjuntas, com as derivadas das parametrizações locais deixando até mesmo de ser contínuas ao longo das fronteiras.
miniatura|upright|Um hiperboloide de duas folhas. miniatura|upright|Um toro. miniatura|upright|Um helicoide.