miniatura|170px|Segmentos de planos paralelos com a mesma orientação e área correspondentes ao mesmo bivetor .
Na matemática, um bivetor ou 2-vetor é uma quantidade na álgebra exterior ou na álgebra geométrica que estende a ideia de escalares e vetores. Considerando um escalar como uma quantidade de grau zero e um vetor como uma quantidade de grau um, um bivetor é de grau dois. Os bivetores possuem aplicações em muitas áreas da matemática e da física. Eles estão relacionados aos números complexos em duas dimensões e tanto aos pseudovetores quanto aos quaterniões vetoriais em três dimensões. Podem ser utilizados para gerar rotações em um espaço com qualquer número de dimensões e são uma ferramenta útil para classificar tais rotações.
Geometricamente, um bivetor simples pode ser interpretado como a caracterização de um segmento de plano orientado (ou segmento de plano dirigido), do mesmo modo que os vetores podem ser concebidos como a caracterização de segmentos de reta orientados. O bivetor possui a atitude (ou direção) do plano gerado por e , possui uma área que é um múltiplo escalar de qualquer segmento plano de referência com a mesma atitude (e, na álgebra geométrica, possui uma magnitude igual à área do paralelogramo com lados e ), e possui uma orientação, que corresponde ao lado de no qual se situa dentro do plano gerado por e . Em termos leigos, qualquer superfície define o mesmo bivetor se for paralela ao mesmo plano (mesma atitude), tiver a mesma área e a mesma orientação (ver figura).
Os bivetores são gerados pelo produto exterior sobre vetores: dados dois vetores e , o seu produto exterior é um bivetor, assim como qualquer soma de bivetores. Nem todos os bivetores podem ser expressos como um produto exterior sem essa soma. Mais precisamente, um bivetor que pode ser expresso como um produto exterior é chamado de simples; em dimensões até três, todos os bivetores são simples, mas em dimensões superiores esse não é o caso. O produto exterior de dois vetores é alternado, portanto é o bivetor nulo e , produzindo a orientação oposta. Conceitos diretamente relacionados aos bivetores são os tensores antissimétricos de ordem 2 e as matrizes antissimétricas.
História O bivetor foi definido pela primeira vez em 1844 pelo matemático alemão Hermann Grassmann na álgebra exterior como o resultado do produto exterior de dois vetores. No ano imediatamente anterior, na Irlanda, William Rowan Hamilton havia descoberto os quaterniões. Hamilton cunhou tanto o termo vetor quanto bivetor, este último em sua obra Lectures on Quaternions (1853), ao introduzir os biquaterniões, que têm bivetores como suas partes vetoriais. Foi somente quando o matemático inglês William Kingdon Clifford, em 1888, adicionou o produto geométrico à álgebra de Grassmann, incorporando as ideias de Hamilton e de Grassmann e fundando a álgebra de Clifford, que o conceito de bivetor abordado neste artigo surgiu. Henry Forder utilizou o termo bivetor para desenvolver a álgebra exterior em 1941.
Na década de 1890, Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside desenvolveram o cálculo vetorial, que incluía o produto vetorial e o produto escalar separados, derivados da multiplicação de quaterniões.Uma discussão sobre quaterniões desse período encontra-se em: O sucesso do cálculo vetorial e do livro Vector Analysis, de Gibbs e Wilson, fez com que os conhecimentos de Hamilton e Clifford fossem ignorados por muito tempo, já que grande parte da matemática e da física do século XX foi formulada em termos vetoriais. Gibbs usou vetores para preencher o papel dos bivetores em três dimensões e usou o termo bivetor no sentido de Hamilton, um uso que por vezes foi reproduzido. Atualmente, o bivetor é amplamente estudado como um tópico da álgebra geométrica, uma álgebra de Clifford construída sobre espaços vetoriais reais ou complexos dotados de uma forma quadrática. O seu ressurgimento foi liderado por David Hestenes, que, juntamente com outros, aplicou a álgebra geométrica a uma série de novas aplicações na física.
Dedução Para este artigo, o bivetor será considerado apenas em álgebras geométricas reais, que podem ser aplicadas na maioria das áreas da física. Além disso, a menos que indicado em contrário, todos os exemplos possuem uma métrica euclidiana e, portanto, uma forma quadrática definida positiva.
Álgebra geométrica e o produto geométrico O bivetor surge da definição do produto geométrico sobre um espaço vetorial com uma forma quadrática associada, por vezes chamada de métrica. Para vetores , e , o produto geométrico satisfaz as seguintes propriedades: Associatividade Distributividade à esquerda e à direita Quadrado escalar , onde é a forma quadrática, que não precisa ser definida positiva.
Produto escalar A partir da associatividade, , que é um escalar multiplicando . Quando não é paralelo a e, portanto, não é um múltiplo escalar de , não pode ser um escalar. Contudo,
é uma soma de escalares e, logo, é um escalar. Pela lei dos cossenos no triângulo formado pelos vetores, seu valor é , onde é o ângulo entre os vetores. É, portanto, idêntico ao produto escalar entre dois vetores e é escrito da mesma forma:
É simétrico, assume valores escalares e pode ser usado para determinar o ângulo entre dois vetores; em particular, se e forem ortogonais, o produto é zero.
Produto exterior Assim como o produto escalar pode ser formulado como a parte simétrica do produto geométrico de outra quantidade, o produto exterior (por vezes conhecido como produto em cunha ou produto progressivo) pode ser formulado como a sua parte antissimétrica:
É antissimétrico em e :
e por adição:
Isto é, o produto geométrico é a soma do produto escalar simétrico com o produto exterior alternado.
Para examinar a natureza de , considere a fórmula
que, utilizando a identidade trigonométrica fundamental, fornece o valor de :
Com um quadrado negativo, ele não pode ser uma quantidade escalar ou vetorial; trata-se de um novo tipo de objeto, um bivetor. Ele possui magnitude , onde é o ângulo entre os vetores e, portanto, é zero para vetores paralelos.
Para distingui-los dos vetores, os bivetores são grafados aqui em maiúsculas em negrito, por exemplo:
embora outras convenções sejam usadas, em particular porque vetores e bivetores são ambos elementos da álgebra geométrica.
Propriedades A álgebra gerada pelo produto geométrico (isto é, todos os objetos formados pela tomada repetida de somas e produtos geométricos de escalares e vetores) é a álgebra geométrica sobre o espaço vetorial. Para um espaço vetorial euclidiano, essa álgebra é escrita como ou , onde é a dimensão do espaço vetorial . é tanto um espaço vetorial quanto uma álgebra, gerada por todos os produtos entre vetores em , de modo que contém todos os vetores e bivetores. Mais precisamente, como espaço vetorial, ela contém os vetores e bivetores como subespaços lineares, embora não como subálgebras (já que o produto geométrico de dois vetores geralmente não é outro vetor).
O espaço ⋀2Rn O espaço de todos os bivetores tem dimensão e é grafado como , sendo a segunda potência exterior do espaço vetorial original.
Subálgebra par A subálgebra gerada pelos bivetores é a subálgebra par da álgebra geométrica, escrita como . Essa álgebra resulta da consideração de todas as somas e produtos geométricos repetidos de escalares e bivetores. Ela tem dimensão e contém como subespaço linear. Em duas e três dimensões, a subálgebra par contém apenas escalares e bivetores, e cada um deles é de interesse particular. Em duas dimensões, a subálgebra par é isomorfa aos números complexos, , enquanto em três dimensões é isomorfa aos quaterniões, . A subálgebra par contém as rotações em qualquer dimensão.
Magnitude Como observado na seção anterior, a magnitude de um bivetor simples — isto é, aquele que é o produto exterior de dois vetores e — é , onde é o ângulo entre os vetores. Ela é escrita como , onde é o bivetor.
Para bivetores gerais, a magnitude pode ser calculada tomando-se a norma do bivetor considerado como um vetor no espaço . Se a magnitude for zero, todas as componentes do bivetor são zero, e o bivetor é o bivetor nulo que, como elemento da álgebra geométrica, é igual ao escalar zero.
Bivetores unitários Um bivetor unitário é aquele com magnitude unitária. Esse bivetor pode ser derivado a partir de qualquer bivetor não nulo dividindo-se o bivetor por sua magnitude, isto é:
De particular utilidade são os bivetores unitários formados a partir dos produtos da base canônica do espaço vetorial. Se e forem vetores de base distintos, então o produto é um bivetor. Como e são ortogonais, , escrito como , e tem magnitude unitária porque os vetores são vetores unitários. O conjunto de todos os bivetores produzidos a partir da base dessa maneira forma uma base para . Por exemplo, em quatro dimensões a base para é (, , , , , ) ou (, , , , , ).
Bivetores simples O produto exterior de dois vetores é um bivetor, mas nem todos os bivetores são produtos exteriores de dois vetores. Por exemplo, em quatro dimensões o bivetor
não pode ser escrito como o produto exterior de dois vetores. Um bivetor que pode ser escrito como o produto exterior de dois vetores é simples. Em duas e três dimensões todos os bivetores são simples, mas não em quatro ou mais dimensões; em quatro dimensões todo bivetor é a soma de no máximo dois produtos exteriores. Um bivetor tem um quadrado real se e somente se for simples, e somente bivetores simples podem ser representados geometricamente por uma área plana orientada.
Produto de dois bivetores O produto geométrico de dois bivetores, e , é
A quantidade é o produto escalar com valor escalar, enquanto é o produto exterior de grau 4 que surge em quatro ou mais dimensões. A quantidade é o produto comutador com valor bivetorial, dado por
O espaço de bivetores é uma álgebra de Lie sobre , com o produto comutador como o colchete de Lie. O produto geométrico completo de bivetores gera a subálgebra par.
De particular interesse é o produto de um bivetor por si mesmo. Como o produto comutador é antissimétrico, o produto simplifica-se para
Se o bivetor for simples, o último termo é zero e o produto é o valor escalar , que pode ser usado como verificação de simplicidade. Em particular, o produto exterior de bivetores só existe em quatro ou mais dimensões, portanto todos os bivetores em duas e três dimensões são simples.
Bivetores gerais e matrizes Os bivetores são isomorfos a matrizes antissimétricas em qualquer número de dimensões. Por exemplo, o bivetor geral em três dimensões mapeia para a matriz
Essa matriz multiplicada por vetores em ambos os lados fornece o mesmo vetor que o produto de um vetor e um bivetor menos o produto exterior; um exemplo é o tensor de velocidade angular.
Matrizes antissimétricas geram matrizes ortogonais com determinante através da aplicação exponencial. Em particular, aplicar a aplicação exponencial a um bivetor que está associado a uma rotação produz uma matriz de rotação. A matriz de rotação dada pela matriz antissimétrica acima é
A rotação descrita por é a mesma descrita pelo rotor dado por
e a matriz também pode ser calculada diretamente a partir do rotor . Em três dimensões, isso é dado por
Os bivetores estão relacionados aos autovalores de uma matriz de rotação. Dada uma matriz de rotação , os autovalores podem ser calculados resolvendo a equação característica para essa matriz, . Pelo teorema fundamental da álgebra, isso tem três raízes (apenas uma das quais é real, pois há apenas um autovetor, isto é, o eixo de rotação). As outras raízes devem ser um par de complexos conjugados. Elas têm magnitude unitária, logo logaritmos puramente imaginários, iguais à magnitude do bivetor associado à rotação, que também é o ângulo de rotação. Os autovetores associados aos autovalores complexos estão no plano do bivetor, portanto o produto exterior de dois autovetores não paralelos resulta no bivetor (ou em um múltiplo dele).