Na matemática, a álgebra exterior ou álgebra de Grassmann de um espaço vetorial é uma álgebra associativa que contém , dotada de uma operação de multiplicação denominada produto exterior ou produto em cunha e denotada por , tal que para todo vetor em . A álgebra exterior foi nomeada em homenagem a Hermann Grassmann, introduziu essas estruturas como álgebras estendidas (cf. ). e as designações do produto derivam do símbolo em cunha e do fato de o produto de dois elementos de estar «fora» de .
O produto em cunha de vetores é chamado de -vetor simples ou -lâmina (ou -blade). O produto em cunha foi introduzido originalmente como uma construção algébrica utilizada na geometria para estudar áreas, volumes e seus análogos de dimensões superiores: a magnitude de uma 2-lâmina é a área do paralelogramo definido por e e, mais geralmente, a magnitude de uma -lâmina é o (hiper)volume do paralelotopo definido pelos vetores constituintes. A sua bilinearidade, esperada de tal generalização de volume, e a sua propriedade alternada de que implicam uma propriedade antissimétrica de que , e, mais geralmente, qualquer lâmina inverte de sinal sempre que dois de seus vetores constituintes são trocados, o que corresponde a um paralelotopo de orientação oposta.
A álgebra exterior completa contém objetos que não são em si lâminas, mas combinações lineares de lâminas; uma soma de lâminas de grau homogêneo é chamada de -vetor, enquanto uma soma mais geral de lâminas de grau arbitrário é chamada de multivetor.O termo k-vetor não é equivalente e não deve ser confundido com termos similares como quadrivetor, que em um contexto diferente pode significar um elemento de um espaço vetorial quadridimensional. Uma minoria de autores usa o termo -multivetor em vez de -vetor, o que evita essa confusão. O subespaço linear gerado pelas -lâminas é chamado de -ésima potência exterior de . A álgebra exterior é a soma direta das -ésimas potências exteriores de , e isso torna a álgebra exterior uma álgebra graduada.
A álgebra exterior é universal no sentido de que toda equação que relaciona elementos de na álgebra exterior também é válida em toda álgebra associativa que contenha e na qual o quadrado de cada elemento de seja zero.
A definição da álgebra exterior pode ser estendida para espaços construídos a partir de espaços vetoriais, tais como campos vetoriais e funções cujo domínio seja um espaço vetorial. Além disso, o corpo dos escalares pode ser qualquer corpo. Mais geralmente, a álgebra exterior pode ser definida para módulos sobre um anel comutativo. Em particular, a álgebra das formas diferenciais em variáveis é uma álgebra exterior sobre o anel das funções suaves em variáveis.
Exemplos motivadores
Áreas no plano miniatura|direita|A área de um paralelogramo em termos do determinante da matriz de coordenadas de dois de seus vértices.
O espaço euclidiano bidimensional é um espaço vetorial real equipado com uma base constituída por um par de vetores unitários ortogonais:
Suponha quesejam dois vetores dados em , escritos em coordenadas. Existe um único paralelogramo tendo e como dois de seus lados. A área desse paralelogramo é dada pela fórmula clássica do determinante:
Considere agora o produto exterior de e :onde o primeiro passo utiliza a lei distributiva para o produto exterior. O segundo passo utiliza o fato de que o produto exterior é uma aplicação alternada, isto é,Ser alternado também implica ser anticomutativo, , o que fornece a última linha. Note que o coeficiente numérico nessa última expressão é precisamente o determinante da matriz . O fato de isso poder ser positivo ou negativo possui o significado intuitivo de que e podem estar orientados em sentido anti-horário ou horário como os vértices do paralelogramo que definem. Tal área é chamada de área orientada do paralelogramo: o valor absoluto da área orientada é a área ordinária, e o sinal determina a sua orientação.
O fato de esse coeficiente ser a área orientada não é um acidente. De fato, é relativamente fácil ver que o produto exterior deve estar relacionado à área orientada se alguém tentar axiomatizar essa área como uma construção algébrica. Em detalhes, se denota a área orientada do paralelogramo do qual o par de vetores e forma dois lados adjacentes, então deve satisfazer às seguintes propriedades: para quaisquer números reais e , já que redimensionar qualquer um dos lados redimensiona a área pela mesma proporção (e inverter a direção de um dos lados inverte a orientação do paralelogramo). , já que a área do paralelogramo degenerado determinado por (isto é, um segmento de reta) é zero. , visto que trocar os papéis de e inverte a orientação do paralelogramo. para qualquer número real , uma vez que adicionar um múltiplo de a não afeta nem a base nem a altura do paralelogramo e, consequentemente, preserva a sua área. , já que a área do quadrado unitário é um.
upright=1.2|miniatura|O produto vetorial (vetor em azul) em relação ao produto exterior (paralelogramo em azul claro). O comprimento do produto vetorial está para o comprimento do vetor unitário paralelo (vermelho) assim como o tamanho do produto exterior está para o tamanho do paralelogramo de referência (vermelho claro).
Com exceção da última propriedade, o produto exterior de dois vetores satisfaz às mesmas propriedades que a área. Em certo sentido, o produto exterior generaliza a propriedade final ao permitir que a área de um paralelogramo seja comparada à de qualquer paralelogramo escolhido em um plano paralelo (aqui, aquele com lados e ). Em outras palavras, o produto exterior fornece uma formulação de área que é independente de base.Essa axiomatização de áreas deve-se a Leopold Kronecker e Karl Weierstrass; ver . Para uma abordagem moderna, ver . Para um tratamento elementar, ver .
Produtos vetorial e misto miniatura|direita|Decomposição na base de um 2-vetor Para vetores em , a álgebra exterior está intimamente relacionada ao produto vetorial e ao produto misto. Utilizando a base padrão , o produto exterior de um par de vetoreseé onde é a base natural para o espaço tridimensional . Os coeficientes acima são os mesmos da definição usual do produto vetorial de vetores em três dimensões, sendo a única diferença o fato de o produto exterior não ser um vetor ordinário, mas sim um bivetor.
Introduzindo um terceiro vetoro produto exterior de três vetores éonde é o vetor de base para o espaço unidimensional . O coeficiente escalar é o produto misto dos três vetores.
O produto vetorial e o produto misto em três dimensões admitem interpretações tanto geométricas quanto algébricas. O produto vetorial pode ser interpretado como um vetor perpendicular tanto a quanto a e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo determinado pelos dois vetores. Ele também pode ser interpretado como o vetor constituído pelos menores da matriz com colunas e . O produto misto de , e é geometricamente um volume (com sinal). Algebricamente, é o determinante da matriz com colunas , e . O produto exterior em três dimensões permite interpretações semelhantes. De fato, na presença de uma base ortonormal orientada positivamente, o produto exterior generaliza essas noções para dimensões superiores.
Definição formal A álgebra exterior de um espaço vetorial sobre um corpo é definida como a álgebra quociente da álgebra tensorial , onde
pelo ideal bilateral gerado por todos os elementos da forma tais que .Esta definição é padrão. Ver, por exemplo, . Simbolicamente,
O produto exterior de dois elementos de é definido por
Propriedades algébricas
Produto alternado O produto exterior é, por construção, alternado em elementos de , o que significa que para todo , pela construção acima. Segue-se que o produto também é anticomutativo em elementos de , pois supondo que ,
portanto
Mais geralmente, se for uma permutação dos inteiros , e forem elementos de , segue-se que
onde é a assinatura da permutação .Uma demonstração disso pode ser encontrada com maior generalidade em .
Em particular, se para algum , então a seguinte generalização da propriedade alternada também se verifica:
Juntamente com a propriedade distributiva do produto exterior, uma generalização adicional é que uma condição necessária e suficiente para que seja um conjunto de vetores linearmente dependente é que
Potência exterior A -ésima potência exterior de , denotada por , é o subespaço vetorial de gerado por elementos da forma
Se , então diz-se que é um -vetor. Se, além disso, puder ser expresso como um produto exterior de elementos de , então é dito decomponível (ou simples, por alguns autores; ou uma lâmina, por outros). Embora os -vetores decomponíveis gerem , nem todo elemento de é decomponível. Por exemplo, dado com uma base , o seguinte 2-vetor não é decomponível:
Base e dimensão Se a dimensão de for e for uma base de , então o conjunto
é uma base para . A razão é a seguinte: dado qualquer produto exterior da forma
cada vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base ; usando a bilinearidade do produto exterior, isso pode ser expandido para uma combinação linear de produtos exteriores desses vetores de base. Qualquer produto exterior no qual o mesmo vetor de base aparece mais de uma vez é zero; qualquer produto exterior no qual os vetores de base não aparecem na ordem correta pode ser reordenado, mudando o sinal sempre que dois vetores de base trocam de lugar. Em geral, os coeficientes resultantes dos -vetores de base podem ser calculados como os menores da matriz que descreve os vetores em termos da base .
Contando os elementos da base, a dimensão de é igual a um coeficiente binomial:
onde é a dimensão do espaço vetorial e é o número de vetores no produto. O coeficiente binomial produz o resultado correto, mesmo para casos excepcionais; em particular, para .
Qualquer elemento da álgebra exterior pode ser escrito como uma soma de -vetores. Consequentemente, como espaço vetorial, a álgebra exterior é uma soma direta
(onde, por convenção, , o corpo subjacente a , e ), e, portanto, sua dimensão é igual à soma dos coeficientes binomiais, que é .
Posto de um k-vetor Se , então é possível expressar como uma combinação linear de -vetores decomponíveis:
onde cada é decomponível, digamos
O posto do -vetor é o número mínimo de -vetores decomponíveis em tal expansão de . Isso é semelhante à noção de posto de um tensor.
O posto é particularmente importante no estudo de 2-vetores . O posto de um 2-vetor pode ser identificado com a metade do posto da matriz de coeficientes de em uma base. Assim, se for uma base para , então pode ser expresso unicamente como
onde (a matriz de coeficientes é antissimétrica). O posto da matriz é, portanto, par, e é o dobro do posto da forma .
Em característica 0, o 2-vetor tem posto se e somente se e
Estrutura graduada O produto exterior de um -vetor com um -vetor é um -vetor, invocando mais uma vez a bilinearidade. Como consequência, a decomposição em soma direta da seção anterior
confere à álgebra exterior a estrutura adicional de uma álgebra graduada, isto é,
Além disso, se for o corpo base, temos
O produto exterior é graduado-anticomutativo, o que significa que, se e , então
Além de estudar a estrutura graduada na álgebra exterior, estuda estruturas graduadas adicionais em álgebras exteriores, como aquelas sobre a álgebra exterior de um módulo graduado (um módulo que já carrega sua própria graduação).
Propriedade universal