Estabilidade hidrodinâmica

miniatura|417px|Diagrama simples da transição de um escoamento estável para um escoamento turbulento. a) estável, b) turbulento.

Na mecânica dos fluidos, a estabilidade hidrodinâmica é o campo que estuda a estabilidade e o aparecimento de instabilidades em escoamentos de fluidos. Seu objetivo é determinar se um dado escoamento permanece estável diante de perturbações e, quando não permanece, como essas perturbações evoluem e podem levar à turbulência. A base teórica e experimental do campo foi desenvolvida no século XIX por pesquisadores como Hermann von Helmholtz, William Thomson, Lorde Kelvin, Lord Rayleigh e Osborne Reynolds.

Entre as ferramentas usadas no estudo da estabilidade estão o número de Reynolds, as equações de Euler e as equações de Navier-Stokes. Modelos idealizados, como os de fluidos incompressíveis ou invíscidos, permitem isolar mecanismos de instabilidade antes da inclusão de outros efeitos. A partir da década de 1980, métodos computacionais passaram a ser empregados com frequência crescente na análise de escoamentos cuja estabilidade não pode ser tratada por métodos analíticos simples.

Escoamentos estáveis e instáveis

A distinção entre estados estáveis e instáveis depende da resposta do escoamento a uma pequena perturbação do seu estado inicial. Essas perturbações podem afetar grandezas como velocidade, pressão e densidade. James Clerk Maxwell expressou uma formulação qualitativa da ideia de estabilidade:

"quando uma variação infinitamente pequena do estado presente altera apenas por uma quantidade infinitamente pequena o estado em algum instante futuro, diz-se que a condição do sistema, esteja ele em repouso ou em movimento, é estável. Quando uma variação infinitamente pequena do estado presente pode produzir uma diferença finita no estado do sistema em um tempo finito, diz-se que o sistema é instável."

Em linguagem matemática, um escoamento estável é aquele no qual perturbações suficientemente pequenas permanecem pequenas segundo o critério de estabilidade adotado. Quando essas perturbações também decaem com o tempo, o estado é chamado de assintoticamente estável. Na análise modal linear, a existência de um modo cuja amplitude cresce com o tempo basta para classificar o estado-base como instável.

Num escoamento instável, perturbações adequadas podem afastar progressivamente o sistema do estado-base. O crescimento pode resultar da transferência de energia do escoamento médio para a perturbação e pode levar a outro estado de escoamento ou, sob certas condições, à turbulência.

Estabilidade temporal e espacial

Uma análise de estabilidade pode acompanhar o crescimento de uma perturbação no tempo ou ao longo do espaço. Na análise temporal, examina-se como a amplitude dos modos evolui com o tempo, em geral tomando o número de onda como real e permitindo que a frequência seja complexa. Na análise espacial, acompanha-se o crescimento ou decaimento ao longo de uma direção do escoamento, normalmente com frequência real e número de onda complexo.

Em escoamentos abertos, a resposta a uma perturbação localizada pode ser classificada como convectivamente instável ou absolutamente instável. No primeiro caso, a perturbação cresce enquanto é transportada pelo escoamento, de modo que sua amplitude em uma posição fixa pode diminuir depois que o pacote de ondas passa. Na instabilidade absoluta, a perturbação cresce numa posição fixa e contamina progressivamente a região em torno do ponto onde foi gerada.

Determinação da estabilidade do escoamento

Número de Reynolds

Uma das grandezas usadas na análise da estabilidade é o número de Reynolds, . A ideia de similaridade que levou a esse parâmetro já estava presente em trabalhos de George Gabriel Stokes em meados do século XIX. Osborne Reynolds estabeleceu sua aplicação sistemática aos escoamentos em 1883. O número compara os termos inerciais e viscosos no escoamento:

onde:

é a densidade do fluido é uma velocidade característica do escoamento é a viscosidade dinâmica é um comprimento característico do sistema é a viscosidade cinemática

Valores críticos do número de Reynolds podem separar regimes estáveis e instáveis em famílias específicas de escoamento, mas não existe um único número de Reynolds crítico aplicável a todos os problemas. O limiar depende da geometria, das condições de contorno, do estado-base e da natureza e amplitude das perturbações. Um valor elevado de reduz a importância relativa da dissipação viscosa em comparação com os efeitos inerciais, mas não garante por si só que o escoamento seja linearmente instável ou turbulento. O escoamento de Poiseuille em um tubo circular liso, por exemplo, é linearmente estável a perturbações infinitesimais para qualquer número de Reynolds no tratamento clássico, embora perturbações de amplitude finita possam desencadear a transição para a turbulência.

Limiares de estabilidade e curvas neutras

miniatura|Curva neutra para o primeiro modo no problema de convecção de Rayleigh em uma camada plana com fronteiras livres.

Quando o escoamento depende de um parâmetro de controle, a fronteira entre crescimento e decaimento das perturbações pode ser expressa por um valor crítico desse parâmetro. O número de Reynolds é usado em muitos escoamentos forçados. Problemas de convecção podem envolver o número de Rayleigh ou o número de Grashof, além de parâmetros como o número de Prandtl e, em misturas, o efeito Soret.

Uma curva neutra reúne combinações de parâmetros para as quais a taxa de crescimento linear de uma perturbação é nula. Em diagramas que relacionam um parâmetro de controle e o número de onda, a curva separa regiões nas quais os modos decaem das regiões nas quais eles crescem. Um mínimo dessa curva pode determinar o parâmetro crítico e o número de onda do primeiro modo a tornar-se instável.

Equações de Navier-Stokes e da continuidade

A análise hidrodinâmica da estabilidade usa técnicas matemáticas que também surgem na magnetoidrodinâmica, na física de plasmas, inclusive em problemas de estabilidade de plasma, e na elasticidade. Os fenômenos físicos diferem, mas muitos desses problemas envolvem a estabilidade de soluções de equações diferenciais parciais não lineares.

Para um fluido newtoniano incompressível, de densidade e viscosidade constantes, uma forma das equações de Navier-Stokes é:

onde:

é o campo de velocidade é a pressão é a densidade é a viscosidade cinemática representa forças de corpo por unidade de massa, como a gravidade é a derivada parcial do campo de velocidade em relação ao tempo é o operador nabla

A conservação da massa é expressa pela equação da continuidade:

A mesma equação pode ser escrita com a derivada material:

Quando a aproximação de escoamento incompressível é adequada e a densidade de cada elemento material permanece constante, . Nesse caso:

A aproximação incompressível é usada quando as variações de densidade relevantes ao problema são pequenas. Ela reduz o número de variáveis acopladas e simplifica a análise de estabilidade.

Equações de Euler

Se os efeitos viscosos puderem ser desprezados, o termo de difusão viscosa das equações de Navier-Stokes é retirado e obtêm-se as equações de Euler. Para o caso correspondente à equação anterior:

A aproximação invíscida pode ser útil longe de regiões nas quais os efeitos da viscosidade se concentram. A presença de uma fronteira sólida não cria viscosidade, que é uma propriedade do fluido. Perto de uma superfície, porém, grandes gradientes de velocidade podem tornar os termos viscosos indispensáveis e produzir uma camada limite. A estabilidade do escoamento é então obtida a partir das soluções das equações governantes, das condições de contorno e da resposta dessas soluções a perturbações.

Análise de estabilidade linear

A análise de estabilidade linear é um dos métodos usados para determinar se um estado-base é estável. Escreve-se o campo de escoamento como a soma de uma solução conhecida e uma pequena perturbação. As equações governantes e as condições de contorno são então linearizadas, desprezando produtos entre perturbações de ordem superior.

Em problemas com simetrias adequadas, as perturbações podem ser decompostas em modos de diferentes números de onda ou frequências. No sistema linearizado, esses modos podem ser examinados separadamente. Os termos não lineares, quando mantidos, permitem a interação entre modos e tornam necessária uma análise além da aproximação linear.

Para um escoamento paralelo, viscoso e incompressível, a decomposição em modos normais leva à equação de Orr-Sommerfeld. No limite invíscido, surge a equação de Rayleigh. O teorema de Squire, sob as hipóteses para as quais se aplica, mostra que o menor número de Reynolds crítico da análise modal de um escoamento paralelo incompressível é alcançado por uma perturbação bidimensional. Para escoamentos de cisalhamento invíscidos, incompressíveis e estratificados, a análise linear leva à equação de Taylor-Goldstein.

Problemas clássicos usados para estudar esses métodos incluem o escoamento de Poiseuille, o escoamento de Couette, o escoamento de Taylor-Couette e escoamentos em camadas limite.

Análise da estabilidade do escoamento

Teoria da bifurcação

A teoria da bifurcação permite examinar mudanças qualitativas nas soluções das equações que governam um escoamento. Uma bifurcação ocorre quando a alteração de um parâmetro de controle modifica a estrutura ou a estabilidade das soluções disponíveis.

O número de Reynolds é frequentemente usado como parâmetro de controle em problemas de estabilidade hidrodinâmica, embora outros parâmetros adimensionais possam ocupar essa função. A perda de estabilidade de uma solução pode coincidir com uma bifurcação que produz outro estado estável, uma solução periódica ou uma sequência de estados mais complicada.

Experimentos de laboratório e métodos computacionais

Experimentos de laboratório permitem observar diretamente a evolução de um escoamento e controlar parâmetros como velocidade, viscosidade, geometria e amplitude das perturbações. Os resultados podem ser comparados com previsões de análises lineares ou não lineares.

Métodos numéricos permitem tratar problemas para os quais as equações de estabilidade ou as próprias equações de Navier-Stokes não possuem soluções analíticas úteis. Eles podem ser empregados em problemas de autovalores, teorias fracamente não lineares e simulações diretas da evolução temporal do escoamento. O desenvolvimento de algoritmos e recursos computacionais ampliou o conjunto de escoamentos que podem ser estudados dessa maneira.

Aplicações

A Lista de instabilidades hidrodinâmicas reúne outros mecanismos estudados no campo. Os exemplos abaixo apresentam classes de instabilidade com origens físicas diferentes.

Instabilidade de Kelvin-Helmholtz

miniatura|383px|Nuvens com estruturas onduladas produzidas pela instabilidade de Kelvin-Helmholtz em São Francisco.

A instabilidade de Kelvin-Helmholtz ocorre em escoamentos com cisalhamento de velocidade, em especial quando duas camadas de fluido se movem com velocidades diferentes. Perturbações na interface ou numa camada de cisalhamento podem extrair energia desse movimento relativo e crescer. Gravidade, estratificação de densidade, tensão superficial, viscosidade, compressibilidade e, em plasmas, campos magnéticos podem alterar as condições de crescimento.

Em sua forma característica, uma interface inicialmente ondulada pode enrolar-se e produzir uma sequência de vórtices. Esses vórtices podem crescer, interagir e iniciar mistura entre as camadas.

miniatura|Instabilidade de Kelvin-Helmholtz entre duas bandas da atmosfera de Saturno, registrada pela sonda Cassini em 9 de outubro de 2004.