O poço de potencial finito (também conhecido como poço quadrado finito) é um conceito da mecânica quântica. Trata-se de uma extensão do poço de potencial infinito, no qual uma partícula é confinada em uma "caixa", porém delimitada por "paredes" de energia potencial finita. Diferentemente do poço de potencial infinito, há uma probabilidade não nula de a partícula ser encontrada fora da caixa. A interpretação da mecânica quântica diverge da mecânica clássica: classicamente, se a energia total da partícula for inferior à barreira de energia potencial das paredes, ela não pode ser encontrada fora da caixa; na mecânica quântica, por outro lado, existe uma probabilidade finita de penetração da partícula na região proibida mesmo quando sua energia total é inferior à barreira de potencial (ver tunelamento quântico).

Partícula em um poço de potencial unidimensional Para o caso unidimensional sobre o eixo , a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser expressa como:

onde: é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a energia potencial em cada ponto , é a função de onda (com valores complexos), ou "autofunção", e é a energia, um número real, frequentemente denominada autoenergia.

Para o caso da partícula em uma caixa unidimensional de largura , o potencial vale fora da caixa e zero para entre e . A função de onda é composta por expressões distintas em cada domínio espacial:

No interior da caixa Na região interna à caixa, tem-se , e a Equação (1) reduz-se a:assemelhando-se à equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre, de modo queDefinindoa equação assume a formaonde e são números complexos arbitrários, e é um número real.

No exterior da caixa Para a região externa à caixa, como o potencial é constante, , e a Equação (1) torna-se:

Existem duas classes possíveis de soluções, dependendo de ser inferior a (a partícula encontra-se em um estado ligado) ou de ser superior a (a partícula encontra-se em um estado não ligado ou de espalhamento).

Resolvendo a equação de Schrödinger independente do tempo para energias , e definindoobtém-secuja solução possui a mesma forma do interior do poço:apresentando comportamento oscilatório tanto dentro quanto fora do poço. Consequentemente, essa solução não é de quadrado integrável em todo o espaço, configurando um estado não normalizável no sentido clássico. Isso não implica a impossibilidade física de uma partícula quântica possuir energia superior a , mas apenas que o sistema exibe espectro contínuo acima de ; isto é, tais estados contribuem para a parte contínua do espectro como autofunções generalizadas de um operador não limitado., Seções 5.2, 5.5 e Exercício 4 no Capítulo 3.

A análise a seguir concentra-se nos estados ligados, onde . Definindoobtém-secuja solução geral é dada por exponenciais reais:

Analogamente, para a outra região externa à caixa:

Para determinar a solução particular do problema, aplicam-se as condições de contorno adequadas, determinando os valores de e que as satisfaçam.

Obtenção das funções de onda para o estado ligado As soluções da equação de Schrödinger devem ser contínuas e continuamente diferenciáveis., Proposição 5.1. Essas exigências constituem condições de contorno sobre as equações diferenciais derivadas, isto é, condições de concordância entre as soluções no interior e no exterior do poço.

Como o poço de potencial finito é simétrico, a simetria de paridade pode ser explorada para simplificar os cálculos.

Reunindo as expressões dos domínios espaciais:onde:

Observa-se que, quando , o termo diverge. Da mesma forma, quando , o termo diverge. Para que a função de onda seja de quadrado integrável, impõe-se , restando:

Em seguida, a função global deve ser contínua e derivável nas interfaces. Assim, os valores das funções e de suas derivadas devem concordar nos pontos de descontinuidade:

Essas equações produzem dois conjuntos de soluções: soluções simétricas (paridade par), para as quais e ; e soluções antissimétricas (paridade ímpar), para as quais e . Para o caso simétrico:Dividindo uma equação pela outra, obtém-se: thumb|direita|Raízes da equação transcendental para os níveis quantizados de energia. Analogamente, para o caso antissimétrico:

Recorde-se que tanto quanto dependem da energia . As condições de continuidade não podem ser satisfeitas para valores arbitrários de energia, o que resulta na quantização energética. Assim, apenas determinados valores de energia, soluções de uma dessas duas equações transcendentais, são permitidos. Os níveis de energia do sistema abaixo de são discretos, e suas autofunções correspondentes representam estados ligados (em contraste com as energias acima de , que formam um espectro contínuo)., Seção 5.5.

As equações de energia não possuem solução analítica exata em termos de funções elementares. Contudo, no caso simétrico, existe sempre ao menos um estado ligado, independentemente de quão raso ou estreito seja o poço., Proposição 5.3. A determinação gráfica ou numérica dos níveis de energia é facilitada pela introdução de variáveis adimensionais, existindo também aproximações analíticas de alta precisão válidas para qualquer par de parâmetros e . Definindo as variáveis adimensionais e , e observando das definições de e que , onde , as equações transcendentais assumem a forma:

No gráfico ao lado, considerando , as soluções ocorrem nas interseções do quarto de círculo azul com as curvas roxas ou cinzas ( e ). Cada curva representa uma solução possível contida no intervalo . O número total de soluções (isto é, o número de ramos interceptados pelo círculo) é obtido dividindo-se o raio do círculo, , pela largura de cada domínio, , aplicando-se a função teto ou piso:

Nesse exemplo específico, existem exatamente três soluções, visto que . thumb|direita|Soluções do poço quadrado finito. Os valores numéricos obtidos são , e , com as energias correspondentes dadas por:A partir desses valores, determinam-se as constantes impondo-se a condição de normalização da função de onda. As autofunções e seus respectivos níveis de energia encontram-se ilustrados à direita (onde ).

Destaca-se que, por menor que seja (ou seja, independentemente de quão raso ou estreito seja o poço), há sempre ao menos um estado ligado simétrico.

Dois casos limites são notáveis: 1. Quando a barreira de potencial torna-se infinitamente alta, , o raio cresce indefinidamente e as raízes aproximam-se dos valores , recuperando os níveis de energia do poço de potencial infinito. 2. O outro caso corresponde ao poço extremamente estreito e profundo, no qual e , mantendo-se constante o produto . Como tende a zero, existe apenas um único estado ligado. A solução aproximada é dada por , e a energia converge para , coincidindo com a energia do estado ligado de um potencial de função delta de intensidade .

Uma resolução gráfica simplificada para os níveis de energia pode ser construída normalizando-se o potencial e a energia por meio da multiplicação pelo fator . As grandezas adimensionais resultantes:fornecem a relação direta entre os pares permitidos como:para as funções de onda de paridade par e ímpar, respectivamente. Nessas equações, consideram-se apenas os ramos com derivada positiva. O diagrama correspondente relaciona diretamente os pares permitidos.

thumb|centro|upright=2.5|Gráfico relacionando o potencial e a energia normalizados para as funções de paridade par e ímpar.

Poço assimétrico Considere um poço de potencial unidimensional assimétrico definido por:com . A solução correspondente para a função de onda com assume a forma:com

Os níveis de energia são determinados encontrando-se os valores de que satisfazem a equação transcendental:onde A existência de raízes reais nessa equação não é universalmente garantida: para valores suficientemente pequenos de dados e , pode não existir nenhum estado ligado discreto. O poço simétrico é recuperado fazendo-se .

Partícula em um poço de potencial esférico Considere um poço de potencial com simetria esférica dado por:onde representa a coordenada radial a partir da origem. A solução para a função de onda com momento angular nulo () e energia negativa () é dada por:satisfazendo a condição transcendental de contorno:

Essa equação não admite soluções para quaisquer conjuntos de parâmetros, indicando que poços tridimensionais muito rasos ou estreitos não comportam estados ligados. A profundidade mínima de potencial necessária para a emergência do primeiro estado ligado em é dada por:

valor que cresce inversamente com o quadrado do raio . Para profundidades ligeiramente superiores ao patamar mínimo, isto é, para , a energia do estado fundamental (para ) é expressa por:

Poço anular com simetria esférica Os resultados obtidos podem ser estendidos para demonstrar a estrutura de estados ligados em cavidades esféricas anulares.

O estado fundamental () sob um potencial esfericamente simétrico possui momento angular orbital nulo (), e a função de onda radial reduzida satisfaz a equação:onde é a componente radial da função de onda total. Para o estado fundamental, a parte angular é constante ().

Essa equação é equivalente à equação unidimensional com condições de contorno adaptadas. De modo análogo:

Os níveis de energia no intervalo :são determinados uma vez que seja obtido como raiz da equação transcendental:onde

A existência de raízes nessa equação é assegurada, satisfazendo a condição na qual a função de onda se anula na origem: .

Quando , a equação diferencial passa a incluir o termo centrífugo:

Mediante mudanças de variável e de função, essa equação é transformada em uma equação diferencial do tipo Bessel, cuja solução geral radial é expressa por:onde , e são as funções de Bessel esféricas, de Neumann e de Hankel, respectivamente.

Os níveis de energia para :são determinados pelas raízes da equação transcendental:com

Adicionalmente, as relações transcendentais de contorno vinculam as interfaces por:e

Ver também Poço de potencial Potencial de função delta Poço de potencial infinito Tunelamento quântico Barreira de potencial retangular

Referências

Bibliografia

Categoria:Mecânica quântica