Em matemática, especialmente em geometria algébrica e na teoria das variedades complexas, a coomologia de feixes coerentes é uma técnica para produzir funções com propriedades especificadas. Muitas questões geométricas podem ser formuladas como questões sobre a existência de seções de fibrados de linha ou de feixes coerentes mais gerais; tais seções podem ser vistas como funções generalizadas. A coomologia fornece ferramentas computáveis para produzir seções, ou explicar por que elas não existem. Também fornece invariantes para distinguir uma variedade algébrica de outra.

Grande parte da geometria algébrica e da geometria analítica complexa é formulada em termos de feixes coerentes e sua coomologia.

Feixes coerentes

Feixes coerentes podem ser vistos como uma generalização de fibrados vetoriais. Há uma noção de feixe analítico coerente em um espaço analítico complexo, e uma noção análoga de feixe algébrico coerente em um esquema. Em ambos os casos, o espaço dado vem com um feixe de anéis , o feixe de funções holomorfas ou funções regulares, e os feixes coerentes são definidos como uma subcategoria plena da categoria de -módulos (isto é, feixes de -módulos).

Fibrados vetoriais como o fibrado tangente desempenham um papel fundamental na geometria. Mais geralmente, para uma subvariedade fechada de com inclusão , um fibrado vetorial em determina um feixe coerente em , o feixe imagem direta , que é zero fora de . Desta forma, muitas questões sobre subvariedades de podem ser expressas em termos de feixes coerentes em .

Ao contrário dos fibrados vetoriais, os feixes coerentes (no caso analítico ou algébrico) formam uma categoria abeliana e, portanto, são fechados sob operações como tomar núcleos, imagens e cokernéis. Em um esquema, os feixes quase-coerentes são uma generalização dos feixes coerentes, incluindo os feixes localmente livres de posto infinito.

Coomologia de feixes Para um feixe de grupos abelianos em um espaço topológico , os grupos de coomologia de feixes para inteiros são definidos como os functores derivados à direita do funtor de seções globais, . Como resultado, é zero para , e pode ser identificado com . Para qualquer sequência exata curta de feixes , há uma sequência exata longa de grupos de coomologia:

Se é um feixe de -módulos em um esquema , então os grupos de coomologia (definidos usando o espaço topológico subjacente de ) são módulos sobre o anel de funções regulares. Por exemplo, se é um esquema sobre um corpo , então os grupos de coomologia são -espaços vetoriais. A teoria torna-se poderosa quando é um feixe coerente ou quase-coerente, por causa da seguinte sequência de resultados.

Teoremas de aniquilamento no caso afim A análise complexa foi revolucionada pelos teoremas A e B de Cartan em 1953. Esses resultados dizem que se é um feixe analítico coerente em um espaço de Stein , então é gerado por suas seções globais, e para todo . (Um espaço complexo é Stein se e somente se é isomorfo a um subespaço analítico fechado de para algum .) Esses resultados generalizam um grande corpo de trabalhos mais antigos sobre a construção de funções analíticas complexas com singularidades dadas ou outras propriedades.

Em 1955, Serre introduziu feixes coerentes na geometria algébrica (primeiro sobre um corpo algebricamente fechado, mas essa restrição foi removida por Grothendieck). Os análogos dos teoremas de Cartan valem com grande generalidade: se é um feixe quase-coerente em um esquema afim , então é gerado por suas seções globais, e para .. Isso está relacionado ao fato de que a categoria de feixes quase-coerentes em um esquema afim é equivalente à categoria de -módulos, com a equivalência levando um feixe ao -módulo . De fato, os esquemas afins são caracterizados entre todos os esquemas quase-compactos pelo aniquilamento da coomologia superior para feixes quase-coerentes..

Coomologia de Čech e a coomologia do espaço projetivo Como consequência do aniquilamento da coomologia para esquemas afins: para um esquema separado , uma cobertura aberta afim de e um feixe quase-coerente em , os grupos de coomologia são isomorfos aos grupos de coomologia de Čech com respeito à cobertura aberta . Em outras palavras, conhecer as seções de em todas as interseções finitas dos subesquemas abertos afins determina a coomologia de com coeficientes em .

Usando a coomologia de Čech, pode-se calcular a coomologia do espaço projetivo com coeficientes em qualquer fibrado de linha. Ou seja, para um corpo , um inteiro positivo e qualquer inteiro , a coomologia do espaço projetivo sobre com coeficientes no fibrado de linha é dada por:

Em particular, este cálculo mostra que a coomologia do espaço projetivo sobre com coeficientes em qualquer fibrado de linha tem dimensão finita como um -espaço vetorial.

O aniquilamento desses grupos de coomologia acima da dimensão é um caso muito especial do teorema de aniquilamento de Grothendieck: para qualquer feixe de grupos abelianos em um espaço topológico noetheriano de dimensão , para todo . Isso é especialmente útil para um esquema noetheriano (por exemplo, uma variedade sobre um corpo) e um feixe quase-coerente.

Coomologia de feixes de curvas planas Dada uma curva plana projetiva suave de grau , a coomologia de feixes pode ser prontamente calculada usando uma sequência exata longa em coomologia. Primeiro observe que para a imersão há o isomorfismo de grupos de coomologia

já que é exato. Isso significa que a sequência exata curta de feixes coerentes

em , chamada de sequência ideal, pode ser usada para calcular a coomologia via a sequência exata longa em coomologia. A sequência lê-se como

que pode ser simplificada usando os cálculos anteriores no espaço projetivo. Por simplicidade, assuma que o anel base é (ou qualquer corpo algebricamente fechado). Então há os isomorfismos

o que mostra que da curva é um espaço vetorial de dimensão finita de posto

.

Teorema de Künneth Há um análogo da fórmula de Künneth na coomologia de feixes coerentes para produtos de variedades. Dados esquemas quase-compactos com diagonais afins sobre um corpo (por exemplo, esquemas separados), e sejam e , então há um isomorfismo onde são as projeções canônicas de para .

Calculando a coomologia de feixes de curvas Em , uma seção genérica de define uma curva , dando a sequência idealEntão, a sequência exata longa lê-se comodando Como é o gênero da curva, podemos usar a fórmula de Künneth para calcular seus números de Betti. Este éque é de postopara . Em particular, se é definida pelo lugar de aniquilamento de uma seção genérica de , ela tem gêneroportanto uma curva de qualquer gênero pode ser encontrada dentro de .

Finitude dimensional Para um esquema próprio sobre um corpo e qualquer feixe coerente em , os grupos de coomologia têm dimensão finita como -espaços vetoriais.. No caso especial em que é projetiva sobre , isso é provado reduzindo ao caso de fibrados de linha no espaço projetivo, discutido acima. No caso geral de um esquema próprio sobre um corpo, Grothendieck provou a finitude da coomologia reduzindo ao caso projetivo, usando o lema de Chow.

A finitude dimensional da coomologia também vale na situação análoga de feixes analíticos coerentes em qualquer espaço complexo compacto, por um argumento muito diferente. Cartan e Serre provaram a finitude dimensional nesta situação analítica usando um teorema de Schwartz sobre operadores compactos em espaços de Fréchet. Versões relativas deste resultado para um morfismo próprio foram provadas por Grothendieck (para esquemas localmente noetherianos) e por Grauert (para espaços analíticos complexos). Ou seja, para um morfismo próprio (no contexto algébrico ou analítico) e um feixe coerente em , os feixes de imagem direta superior são coerentes., Quando é um ponto, este teorema fornece a finitude dimensional da coomologia.

A finitude dimensional da coomologia leva a muitos invariantes numéricos para variedades projetivas. Por exemplo, se é uma curva projetiva suave sobre um corpo algebricamente fechado , o gênero de é definido como a dimensão do -espaço vetorial . Quando é o corpo dos números complexos, isso concorda com o gênero do espaço de pontos complexos em sua topologia clássica (euclidiana). (Nesse caso, é uma superfície orientada fechada.) Entre muitas generalizações possíveis de dimensão superior, o gênero geométrico de uma variedade projetiva suave de dimensão é a dimensão de , e o gênero aritmético (segundo uma convenção) é a soma alternada

Dualidade de Serre

A dualidade de Serre é um análogo da dualidade de Poincaré para a coomologia de feixes coerentes. Nesta analogia, o fibrado canônico desempenha o papel do feixe de orientação. Ou seja, para um esquema próprio suave de dimensão sobre um corpo , há um mapa traço natural , que é um isomorfismo se é geometricamente conexo, significando que a mudança de base de para um fecho algébrico de é conexa. A dualidade de Serre para um fibrado vetorial em diz que o produto

é um emparelhamento perfeito para todo inteiro . Em particular, os -espaços vetoriais e têm a mesma dimensão (finita). (Serre também provou a dualidade de Serre para fibrados vetoriais holomorfos em qualquer variedade complexa compacta.) A teoria da dualidade de Grothendieck inclui generalizações para qualquer feixe coerente e qualquer morfismo próprio de esquemas, embora as afirmações se tornem menos elementares.

Por exemplo, para uma curva projetiva suave sobre um corpo algebricamente fechado , a dualidade de Serre implica que a dimensão do espaço de 1-formas em é igual ao gênero de (a dimensão de ).

Teoremas GAGA

Os teoremas GAGA relacionam variedades algébricas sobre os números complexos aos espaços analíticos correspondentes. Para um esquema X de tipo finito sobre C, há um funtor de feixes algébricos coerentes em X para feixes analíticos coerentes no espaço analítico associado Xan. O teorema GAGA chave (de Grothendieck, generalizando o teorema de Serre sobre o caso projetivo) é que se X é próprio sobre C, então este funtor é uma equivalência de categorias. Além disso, para todo feixe algébrico coerente E em um esquema próprio X sobre C, o mapa natural

de espaços vetoriais complexos (de dimensão finita) é um isomorfismo para todo i. (O primeiro grupo aqui é definido usando a topologia de Zariski, e o segundo usando a topologia clássica (euclidiana).) Por exemplo, a equivalência entre feixes coerentes algébricos e analíticos no espaço projetivo implica o teorema de Chow de que todo subespaço analítico fechado de CPn é algébrico.

Teoremas de aniquilamento O teorema de aniquilamento de Serre diz que para qualquer fibrado de linha amplo em um esquema próprio sobre um anel noetheriano, e qualquer feixe coerente em , existe um inteiro tal que para todo , o feixe é gerado por suas seções globais e não tem coomologia em graus positivos.

Embora o teorema de aniquilamento de Serre seja útil, a não explicitude do número pode ser um problema. O teorema de aniquilamento de Kodaira é um resultado explícito importante. Ou seja, se é uma variedade projetiva suave sobre um corpo de característica zero, é um fibrado de linha amplo em , e um fibrado canônico, então

para todo . Observe que o teorema de Serre garante o mesmo aniquilamento para grandes potências de . O aniquilamento de Kodaira e suas generalizações são fundamentais para a classificação de variedades algébricas e o programa de modelo mínimo. O aniquilamento de Kodaira falha sobre corpos de característica positiva.Michel Raynaud. Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p > 0. In C. P. Ramanujam - a tribute, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), pp. 273-278.

Teoria de Hodge

O teorema de Hodge relaciona a coomologia de feixes coerentes à coomologia singular (ou coomologia de de Rham). Ou seja, se é uma variedade projetiva complexa suave, então há uma decomposição canônica em soma direta de espaços vetoriais complexos: