Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.
Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.
Definição Dadas categorias e , um functor de até , escrito , consiste de uma atribuição, a cada objeto , de um objeto , de uma atribuição, a cada morfismo , de um morfismo , (equivalentemente, e ) satisfazendo para cada objeto , para cada dupla de morfismos e . Chama-se esse mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravarianteO nome cofunctor é usado, mas não é recomendado. de até , atribuindo, a cada morfismo , um morfismo , satisfazendo e ; os functores contravariantes de até estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes , em que denota a categoria oposta a .
Por vezes, em vez de se dizer que é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição é functorial.
Exemplos Dadas e categorias, com objeto , há o functor constante , com atribuição Se denota a categoria dos conjuntos pequenos, há functor contravariante de a , com atribuiçãoem que é o conjunto de partes de , e é a pré-imagem de por . Se denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo , há functor contravariante de de , com correspondênciaem que denota o espaço dual a . A atribuição de cada espaço com base ao correspondente grupo fundamental é functorial.
Bifunctor Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias . Dado bifunctor e objeto , o functor é definido por:De forma análoga, há o functor .
Categoria de categorias e functores Para cada universo de Grothendieck, há a categoria (ou, brevemente, ) cujos objetos são as categorias que pertencem a e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.
Um conceito similar é a categoria de functores , cujos objetos são os functores , e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.
Functor hom Seja uma categoria. Denotando-se por uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor
em que é o conjunto de morfismos , e, dados , morfismos em ,
Ligações externas Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani
Bibliografia
Categoria:Teoria das categorias