Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицыПод треугольными матрицами сейчас понимают матрицы, ненулевые элементы которых заполняют в таблице матрицы треугольную область, остальные же элементы — нули., в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции: сложение матриц, имеющих один и тот же размер; умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк); в том числе умножение матрицы на вектор-столбец и умножение вектор-строки на матрицу (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы); умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр). Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в -мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка ; и обратно — каждой квадратной матрице порядка может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.Этот изоморфизм полностью задается выбором базиса в линейном пространстве: при фиксированном базисе изоморфизм фиксирован и таким образом реализована взаимная однозначность соответствия матриц операторам. Это не означает того, что такой изоморфизм в принципе единственный: в другом базисе тем же линейным операторам будут соответствовать другие матрицы (тоже взаимно однозначно при фиксации этого нового базиса). Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
История Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввёл Джеймс Сильвестр в 1850 г.Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики: Пер. с франц. — : Мир, 1986. — С. 397.
Введение Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений, а также при рассмотрении линейных преобразований.
Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений вида: . Эта система состоит из линейных уравнений относительно неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения : , где
Матрица — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец — вектор неизвестных, а вектор-столбец — некоторый заданный вектор.
Для того, чтобы система имела решение (хотя бы одно), необходимо и достаточно, чтобы вектор был линейной комбинацией столбцов , и тогда вектор — это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектора по столбцам матрицы .
На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли: ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы , составленной из столбцов и столбца .
Важный частный случай. Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (, то есть матрица — квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицы .
(Замечание. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Пример: .)
В частности, если матрица является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычислена , то и найдено) в виде . Это приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера.
Линейные преобразования
Рассмотрим линейное преобразование , действующее из -мерного векторного пространства в -мерное векторное пространство , имеющее следующий вид: . В матричной форме это преобразование уравнения вида: . Матрица — это матрица коэффициентов линейного преобразования.
Если рассмотреть действие линейного преобразования на векторы вида , составляющие базис пространства , то — это есть -ый столбец матрицы .
Таким образом, матрица полностью описывает линейное преобразование , и поэтому называется матрицей линейного преобразования.
Определения
Прямоугольная матрица Пусть есть два конечных множества:
номера строк: ;
номера столбцов: , где и — натуральные числа.
Назовём матрицей размера (читается на ) ( — строк, — столбцов) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида . Матрица записывается как
где элемент матрицы находится на пересечении -й строки и -го столбца. -я строка матрицы -й столбец матрицы
При этом количество элементов матрицы равно .
В соответствии с этим каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в -мерном координатном пространстве ; каждый столбец матрицы — как вектор в -мерном координатном пространстве . Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Квадратная матрица Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число называется размером квадратной матрицы или её порядком.
Вектор-строка и вектор-столбец Матрицы размера и являются элементами пространств и соответственно: матрица размера называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:
матрица размера называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:
Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования: Умножение строки на отличное от нуля число, Прибавление одной строки к другой строке, Перестановка местами двух строк. Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.
Ранг матрицы
Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств: столбцы матрицы составляют элементы пространства размерности ; строки матрицы составляют элементы пространства размерности . Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Обозначения Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть
тогда — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где первый индекс означает индекс строки: ; второй индекс означает индекс столбца: ; таким образом, — элемент матрицы , находящийся на пересечении -й строки и -го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :
или просто
если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.
Иногда, вместо , пишут , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.
Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).
Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения: — это -я строка матрицы , а — это -й столбец матрицы .
Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по столбцам:
и по строкам: . Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.
Транспонированная матрица
Для каждой матрицы размера
можно построить матрицу
размера ,
у которой для всех и .
Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается ,
иногда (если нет возможности спутать с дифференцированием) обозначается ,
иногда (если нет возможности спутать с эрмитовым сопряжением) обозначается .
При транспонировании строки (столбцы) матрицы становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы .
Очевидно, .
Для матриц над кольцом транспонирование является изоморфизмом - модулей матриц, поскольку , , для любых .
Диагональная матрица Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые , иногда записывается как:
Другие диагонали матрицы Кроме главной диагонали иногда рассматриваются элементы матрицы, стоящие непосредственно над диагональными элементами. Эти элементы образуют наддиагональ матрицы. Элементы, расположенные непосредственно под диагональю образуют поддиагональ матрицы (см. Бидиагональная матрица).
Элементы, расположенные на местах образуют побочную диагональ (см., например, Побочная диагональ или Виды матриц).
Единичная матрица Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остаётся неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:
Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).
Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера , определяемый как:
при
Нулевая матрица Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остаётся неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например или .
Операции над матрицами
Сложение матриц Складывать можно только матрицы одинакового размера.