Плетение — это одна из двух концепций: В определении Джона Конвея n-плетение — это собственное вложение несвязного объединения n дуг в 3-мерный шар. Вложение должно отображать концы дуг в 2n отмеченных точек на границе шара. В теории зацеплений плетение — это вложение n дуг и m окружностей в . Разница с предыдущим определением заключается в том, что оно включает как круги, так и дуги, и разделяет границу на две (изоморфные) части, что алгебраически более удобно – это позволяет, например, добавлять «плетения» путём их наложения.

Третье, совершенно иное использование слова плетение — в теории графов— было введено Нилом Робертсоном и Полом Сеймуром, которые использовали его для описания разделения в графах. Это использование было распространено на матроиды.

Остальная часть этой статьи посвящена обсуждению понятия Конвея. Для понятия в смысле теории зацеплений смотрите статью Зацепление (теория узлов).

Два n-плетения считаются эквивалентными, если существует объемлющая изотопия одного плетения в другой при сохранении границ 3-мерного шара. Теорию плетений можно рассматривать как аналог теории узлов, но вместо замкнутых петель здесь используются нити, концы которых закреплены. Смотрите также статью Теория кос.

Диаграммы плетений Без потери общности, будем считать, что отмеченные точки на границе трёхмерного шара лежат на большой окружности. Плетение можно расположить в бщем положении относительно проекции на плоский диск, ограниченный этой большой окружностью. Проекция даст нам диаграмму плетения, где мы отмечаем, какой конец проходит сверху, а какой снизу, как и в диаграммах узлов.

Плетения часто встречаются в виде диаграмм в диаграммах зацеплений и могут служить строительными блоками , например, кружевные зацепления.

Рациональные и алгебраические плетения

Рациональное плетение — 2-плетение, которое гомеоморфно тривиальному 2-плетению при отображении пар, состоящих из 3-мерного шара и двух дуг. Четыре конечные точки дуг на гранично круге диаграммы плетения обычно обозначаются как NE, NW, SW, SE согласно сторонам света (Nord-East – северо-восток, Nord-West – северо-запад, South-West – юго-запад, South-East – юго-восток).

Произвольно выбранная диаграмма рационального плетения может выглядеть очень сложной, но всегда существует диаграмма простого вида: начнём с диаграммы плетения, состоящей из двух горизонтальных (вертикальных) дуг; добавим «скрутку», то есть, пересечение, путём обмена NE и SE концов (SW и SE концов); продолжаем добавление скруток с помощью либо NE и SE концов, либо SW и SE концов. Можно догадаться, что каждое скручивание не изменяет диаграмму, содержащуюся внутри диска, содержащего созданные перед этим пересечения.

Мы можем описать такую диаграмму, рассматривая числа, полученные последовательным закручиванием одного и того же набора конечных точек. Например, (2, 1, -3) означает закручивание двух горизонтальных дуг, затем 2 скрутки концов NE/SE, 1 скрутку концов SW/SE и 3 скрутки концов NE/SE, но в противоположном направлении. Список начинается с 0, если выбраны две вертикальные дуги. Диаграмма с двумя горизонтальными дугами получит обозначение (0), и мы присваиваем обозначение (0, 0) диаграмме с двумя вертикальными дугами. Необходимо установить соглашение для описания «положительного» и «отрицательного» скручивания. Часто под «рациональным плетением» понимается список чисел, представляющих простую диаграмму, полученную по описанной выше процедуре

Дробь рациональнoго плетения определяется как число, задаваемое цепной дробью . Дробь, задаваемая (0,0), определяется как . Конвей доказал, что дробь определена корректно и полностью определяет рациональный узел с точностью до эквивалентности плетений. Доступное доказательство этого факта приведено в книге Кауфмана и Ламбропулу. Конвей также определил дробь произвольного плетения, используя многочлен Александера.

Операции над плетениями Существует «арифметика» плетений, включающая сложение, умножение и взятия обратного значения. Алгебраическое плетение получается путём сложения и умножения рациональных плетений.

Замыкание числителя рационального плетения определяется как соединение «северных» и «южных» концов. Замыкание знаменателя определяется аналогично путём группировки «восточных» и «западных» концов. определяются как замыкания рациональных плетений.

Нотация Конвея

Одной из мотиваций для изучения узлов Конвеем было создание более систематической нотации для узлов по сравнению с традиционным перечислением, встречающимся в таблицах.

Приложения Плетения были показаны как полезные при изучении . Действие данного фермента может быть проанализировано с помощью теории плетений.

См. также Головоломки на распутывание

Примечания

Литература

Литература для дальнейшего чтения

Ссылки

Категория:Теория узлов Категория:Джон Конвей