Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.
Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.
Могут обобщаться на случай бесконечного множества неизвестных.
Соглашения и определения Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
Здесь — количество уравнений, а — количество переменных, — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты и свободные члены предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений () формируются по следующему соглашению: первый индекс () обозначает номер уравнения, второй () — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент.
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (), иначе — неоднородной.
Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных (). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений, является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.
Решение системы линейных алгебраических уравнений — совокупность чисел , таких что их соответствующая подстановка вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой.
Матричная форма Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или: . Здесь — это матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. (На самом деле, в СЛАУ, вектор неизвестных является вектор-строкой, но производимое действие по правилам матричного умножения совпадает с умножением матрицы на вектор-столбец, поэтому и записывается справа от матрицы как вектор-столбец.)
Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.
Эквивалентные системы линейных уравнений Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Также считается, что системы, не имеющие решений, эквивалентны.
Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.
Система линейных алгебраических уравнений эквивалентна системе , где — невырожденная матрица. В частности, если сама матрица — невырожденная и для неё существует обратная матрица , то решение системы уравнений можно формально записать в виде .
Методы решения Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Некоторые прямые методы: Метод Гаусса. Метод Гаусса — Жордана. Метод Гаусса — Барейса Метод Крамера. Матричный метод. Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц). Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц).
Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения ,
эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге: .
Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода: Основанные на расщеплении: . Вариационного типа: . Проекционного типа: .
Среди итерационных методов: Метод Якоби (метод простой итерации). Метод Гаусса — Зейделя. Метод релаксации. Многосеточный метод. Метод Монтанте. Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ). . Метод бисопряжённых градиентов. Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов. Квадратичный метод бисопряжённых градиентов. Метод квази-минимальных невязок (QMR). Метод вращений.
См. также Система уравнений. Система нелинейных уравнений. Система дифференциальных уравнений.
Примечания
Ссылки
Категория:Линейная алгебра Категория:Алгебраические уравнения * Категория:Численные методы линейной алгебры