Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр (от ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.
Определение Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплекса — 1216 стб. — Стб. 1151..
Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин :
Связанные определения
Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса). Остовом симплекса называется множество всех его вершин. Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины. Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса — 1104 стб. — Стб. 995—1101.. Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одинаковую (под ориентированным -симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус») — С. 257—258.. Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину — P. 756—758. — ..
Стандартный симплекс
Стандартный -симплекс — это подмножество арифметического пространства , определяемое как
Его вершинами являются точки e0 = (1, 0, …, 0), e1 = (0, 1, …, 0), … en = (0, 0, …, 1).
Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного -симплекса в любой другой -симплекс Δ с координатами вершин :
Значения для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами.
Свойства n-мерный симплекс имеет вершин, любые из которых образуют k-мерную грань. В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно . Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле
Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
где — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников. Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен . Радиус описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
где — объём симплекса, и
Построение
Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника.
Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры: 0-симплекс (точка) — 1 вершина; 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины; 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины; 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.
Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства. Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Описанная сфера Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.
Число граней симплекса Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.
Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса
где — число сочетаний из n по k.
В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:
Соотношения в правильном симплексе Для правильного n-мерного симплекса обозначим: — длина стороны; — высота; — объём; — радиус описанной сферы; — радиус вписанной сферы; — двугранный угол.
Тогда
Формулы для правильного симплекса Число L-мерных граней Высота Объём Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Двугранный угол
Симплексы в топологии Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства) — 1216 стб. — Стб. 1168..
См. также
Барицентрические координаты Барицентрическое подразделение Симплекс-метод Симплициальный комплекс Пятиячейник Теорема косинусов Теорема о сумме углов треугольника Триангуляция (геометрия)
Примечания
Литература
— С. 23—31.
Ссылки
Категория:Многомерная евклидова геометрия Категория:Геометрические фигуры Категория:Геометрические тела Категория:Многогранники Категория:Алгебраическая топология