Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -й степенью.
Формулировка Пусть — пространство с мерой, и функции , то есть , где , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда , и более того:
Доказательство Сначала докажем, что
суммируема на .
Введём множества: .
Перейдём к доказательству неравенства Минковского:
можно применить к ним Неравенство Гёльдера:
Таким образом:
Делим левую и правую части на .
Неравенство доказано.
Примечание: В случае, когда неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.
Замечание Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве можно ввести норму:
которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.
Частные случаи
Евклидово пространство Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:
и тогда
Если и , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.
Пространство lp Пусть — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что
называется . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:
Вероятностное пространство Пусть — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным -м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:
Литература
См. также Пространство Lp Минковский, Герман Неравенство Гёльдера
Минковского Категория:Функциональный анализ Категория:Теория вероятностей Категория:Герман Минковский Минковского Минковского Минковского