Замкнутое множество — множество, содержащее свои предельные точки. Впервые определено Георгом Кантором в 1884 годуG. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392..
Определения Пусть дано топологическое пространство , тогда следующие утверждения эквивалентны:
Множество замкнуто в . , является открытым подмножеством , то есть . совпадает со своим замыканием в . содержит все свои предельные точки. содержит все свои граничные точки.
Замечания
Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества — C. 24..
Альтернативное определение замкнутого множества вводится с помощью последовательностей и сетей. Так, множество топологического пространства замкнуто в тогда и только тогда, когда любой предел всякой сети из также лежит в . В пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности (в том числе метрических пространствах) достаточно доказать сходимость всех последовательностей, вместо сетей. Одним из достоинств этого определения является возможность определить — обобщения топологических пространств. Стоит заметить, что такое определение зависит от окружающего пространства , так как сходимость последовательности или сети зависит от точек, содержащихся в . Будем говорить, что точка близка к множеству , если , где означает замыкание в . Тогда можно непосредственно определить замкнутые множества: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои близкие точки.
В терминах сходимости сетей, точка близка к , только если существует сеть в , сходящаяся к .
Замкнутые множества можно также определить через непрерывные функции: отображение непрерывно тогда и только тогда, когда , то есть близкие точки при переводятся в близкие точки образа .
Выше, понятие замкнутого множество было дано в терминах открытых множеств, которое справедливо в контексте топологических пространств и пространств, несущих топологическую структуру.
Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Так, например, компактные хаусдорфовы пространства являются «абсолютно замкнутыми» в том смысле, что при вложении компактного хаусдорфова пространства в произвольное хаусдорфово пространство , будет всегда замкнуто в . В этом смысле, компактификация Стоуна — Чеха может быть описана, как дополнение пространства пределами расходящихся сетей.
Замкнутые множества дают удобное определение компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда всякое семейство непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечное подсемейство с пустым пересечением.
Связанные определения
Множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
Множества, полученные объединением счётного числа множеств называются F-сигма-множествами или .
Свойства Замкнутое множество содержит свою границу. Это справедливо в том числе для множеств с пустой границей. Пересечение любого семейства замкнутых множеств также замкнуто. Объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто. Само пространство и пустое множество являются замкнутыми. Топологическое пространство несвязно, если существуют непересекающиеся непустые открытые множества , объединение которых есть .
Примеры
Замкнутый промежуток числовой прямой замкнут. Единичный отрезок замкнут в метрическом пространстве над , и множество замкнуто в , но не замкнуто в . Множество ни замкнуто, ни открыто. Луч замкнут. Канторово множество является необычным примером замкнутого множества, состоящего только из своих граничных точек, являясь при этом нигде не плотным. Одноточечные множества замкнуты в пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, и хаусдорфовых пространствах. Множество целых чисел является бесконечным и неограниченным замкнутым множеством в . Отображение между топологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств замкнуты в .
См. также Открыто-замкнутое множество Открытое множество Окрестность
Примечания
Литература
Категория:Общая топология