Теорема Леви о монотонной сходимости даёт условие, при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега.То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов . В частности, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.
Эта теорема имеет фундаментальное значение в функциональном анализе и теории вероятностей. Названа в честь Бе́ппо Ле́ви
Различные формулировки из функционального анализа Далее обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой . Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство .
Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть — монотонно неубывающая последовательность функций, интегрируемых на , то есть для всех и . Если их интегралы ограничены в совокупности: , Тогда: почти всюду существует конечный предел (то есть функции сходятся поточечно к некоторой функции почти всюду на ); предельная функция интегрируема на , то есть ; функции сходятся к функции в среднем, то есть по норме пространства ; допустим предельный переход под знаком интеграла: .
Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:
Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть — неотрицательные функции, интегрируемые на . Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда , тогда ряд сходится почти всюду к конечному значению; сумма ряда является интегрируемой функцией; последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства ; допустимо почленное интегрирование функционального ряда: .
Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене , или . Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:
Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть — функции, интегрируемые на . Если сходится ряд , тогда ряд абсолютно сходится почти всюду к конечному значению; сумма ряда является интегрируемой функцией; последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства ; допустимо почленное интегрирование функционального ряда: .
Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:
Формулировка из теории вероятностей Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть — монотонная последовательность п.н. неотрицательных интегрируемых случайных величин. Тогда .
См. также Теорема Лебега о мажорируемой сходимости Лемма Фату
Примечания
Литература
Категория:Теория вероятностей Леви о монотонной сходимости