Ле́мма Фату́ даёт условие, при котором предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.
Формулировка Пусть — борелевская сигма-алгебра на .
Лемма. Дано пространство с мерой и множество . Пусть последовательность -измеримых неотрицательных функций .
Пусть — поточечный предел ; то есть для любого . Тогда является -измеримой и
Замечания
Интеграл может быть конечным или бесконечным.
Лемма Фату остается верной, если ее предположения сохраняются почти всюду. Другими словами, этого вполне достаточно, чтобы существовало нулевое множество такое, что последовательность не убывала для любого .
Примеры строгого неравенства Обозначим через пространство c борелевской σ-алгеброй c мерой Лебега. Пример для вероятностного пространства. Пусть определяет единичный интервал. Для любого натурального числа определим:
Пример с равномерной сходимостью. Пусть определяет множество всех действительных чисел. Определим
Эти последовательности сходятся на поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но каждая интегрируема.
Роль неотрицательности Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности функций необходимо для леммы Фату, как показано в следующем примере. Обозначим через с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим
Эта последовательность сходится равномерно на к нулевой функции (с нулевым интегралом) и для любого мы имеем для всех (поэтому для каждой точки предел 0 достигается за конечное число шагов). Однако каждая функция имеет интеграл -1, поэтому не выполняется неравенство леммы Фату.
Вариации и обобщения
Обратная лемма Фату Пусть - последовательность расширенных вещественных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой . Если существует неотрицательная интегрируемая функция на такая, что для всех , то
Здесь интегрируема означает, что g измерима и что .
Интегрирование по нижней границе Пусть — последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой . Если существует такая интегрируемая функция на , что для всех , то
Поточечная сходимость Если в предыдущем пункте последовательность , сходится поточечно к функции -почти всюду на , то
Сходимость по мере Последнее утверждение также справедливо, если последовательность сходится по мере к функции .
Лемма Фату с изменяющимися мерами Во всех вышеприведенных формулировках леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере . Предположим, что - последовательность мер на измеримом пространстве такая, что :
Тогда, когда неотрицательные интегрируемые функции и является их поточечным пределом, мы имеем:
Лемма Фату для условных математических ожиданий В теории вероятностей, путем изменения обозначений, приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин , принадлежащих вероятностному пространству ; интегралы превращаются в математические ожидания. Кроме того, существует также версия для условных математических ожиданий.
Стандартная версия Пусть — последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства и пусть — -подалгебра.
Тогда почти наверное.
Примечание: условное математическое ожидание неотрицательных случайных величин всегда строго определено, конечное математическое ожидание не требуется.
Расширение до равномерно интегрируемых отрицательных частей Пусть - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства и пусть -подалгебра. Если отрицательные части
равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что при существует такое , что для всех почти наверное, тогда почти наверное.
Примечание: на множестве, где для
выполнено:
левая часть неравенства равна плюс бесконечности. Условное математическое ожидание нижнего предела, возможно, может оказаться незаданным на этом нулевом множестве, поскольку условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечностью.
См. также Теорема Леви о монотонной сходимости; Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
Примечания
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Теория вероятностей Фату Фату Фату Фату