Теорема Лебе́га о мажори́руемой сходимости — утверждение теории меры, согласно которому если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.
Точная формулировка: если фиксировано пространство с мерой и и — измеримые функции на , причём почти всюду на , тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая на функция такая, что любая функция почти всюду, то функции интегрируемы и: .
Условие мажорированности последовательности интегрируемой функцией принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример: для , где — борелевская -алгебра на , а — мера Лебега на том же пространстве и функции , равной при или нулю в противном случае: , последовательность не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и: .
— цепь неравенств без условия сходимости почти всюду, обращающаяся утверждение теоремы Лебега при сходимости почти всюду.
Приложение к теории вероятностей Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что почти наверное. Тогда случайные величины интегрируемы и .
Примечания
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Теория вероятностей Л