У математици, посебно линеарној алгебри, две матрице -{A}- и -{B}- су сличне ако су то матрице једног истог линеарног пресликавања неког векторског простора -{V}- у односу на две његове базе -{A}- и -{B}-, редом.
Тада за матрицу промене координата при преласку са базе -{A}- на базу -{B}-, -{S = SA→B}-, важи -{A = S−1BS}-.
Дефиниција
За две квадратне матрице -{A}- и -{B}- истог реда -{n}- кажемо да су сличне матрице ако за неку инверзибилну матрицу -{S}- реда -{n}- важи: -{A = S−1BS.}-
Особине сличних матрица
Сличне матрице нису „сличне“ у лаичком смислу, јер оне наоко могу изгледати сасвим различито.
Сличност матрица је релација еквиваленције. Једно од основних питања којима се бави линеарна алгебра јесте налажење, за дату матрицу -{A}-, у извесном смислу што „једноставније“ матрице -{B}- сличне матрици -{A}-. Матрице сличне некој дијагоналној матрици називају се дијагонализабилне (понегде дијагонабилне) матрице; доказује се да су такве, на пример, све -{n × n}- матрице са -{n}- различитих својствених вредности, али и неке друге. Са друге стране, свака комплексна матрица има јединствену Жорданову нормалну форму, која јој је слична; општије, свака матрица над ма којим пољем -{F}- слична је тачно једној матрици у Жордановој нормалној форми над алгебарским затворењем -{F~}- и две матрице су међусобно сличне ако и само ако су њихове Жорданове форме идентичне (до на редослед блокова). Од интереса су и други канонски облици матрица.
Сличност не зависи од поља: ако је -{L}- поље које садржи неко потпоље -{K}-, тада су две матрице -{A}- и -{B}- над -{K}- сличне као матрице над -{K}- ако и само ако су сличне као матрице над -{L}-.
Посебно, кажемо да су матрице пермутационо сличне ако се матрица -{S}- може изабрати тако да буде пермутациона, унитарно сличне ако се S може изабрати да буде унитарна, итд. Према спектралној теореми је свака нормална матрица унитарно слична дијагоналној; посебно је свака реална симетрична матрица ортогонално и свака хермитска матрица унитарно дијагонализабилна.
Пресликавање -{X → S−1XS}-, конјугација у смислу теорије група у линеарној групи -{GLn}- инверзибилних -{n × n}- матрица, се назива пресликавањем сличности и аутоморфизам је алгебре -{Mn}- свих -{n × n}- матрица. Ако је -{A = S−1BS}-, онда је -{f(A) = S−1f(B)S}- за ма који полином, или општије ма коју функцију -{f}- аналитичку на домену у комплексној равни који садржи све својствене вредности матрице -{A}-. Посебно, ако је -{A}- дијагонализабилна и -{B = diag( λ1, λ2, ... λn )}- њој слична дијагонална матрица, тада су сви степени матрице -{A}- дати једноставном формулом -{At = S−1 diag( λ1t, λ2t, ... λnt ) S}-. Овај резултат се користи при решавању линеарног дискретног динамичког система -{x( t + 1 ) = A x(t)}-, чије је решење -{x(t) = At x(0)}-. Аналогно сличне дијагоналне матрице помажу у решавању система линеарних диференцијалних једначина, односно непрекидног динамичког система. Помоћу исте формуле се нумерички брзо и прецизно израчунава доминантна својствена вредност (својствена вредност највеће апсолутне вредности).
Сличне матрице имају једнак ранг, дефект, детерминанту, траг, карактеристични и минимални полином, исте својствене вредности са једнаким алгебарским вишеструкостима и димензијама одговарајућих својствених простора. Ранг линеарног пресликавања је ранг ма које од његових матрица (које су сличне међу собом, те тако све имају исти ранг); слично се могу дефинисати и карактеристични и минимални полином линеарног пресликавања, итд.
Види још
Матрица
Категорија:Матрице Категорија:Релације еквиваленције