У статистичкој механици, угаона матрица преноса (енгл. ) описује ефекат додавања квадранта у решетку. Увео ју је Родни Бакстер 1968. године као проширење Крамерс-Ванијеове матрице преноса из реда у ред, што пружа моћан метод за проучавање модела решетке. Прорачуни са угаоним матрицама преноса довели су Бакстера до тачног решења модела чврстог шестоугла 1980. године.
Дефиниција
Размотримо ИРФ (интеракција-око-лица, енгл. ) модел, односно модел квадратне решетке са спином σi додељеним сваком месту i и интеракцијама ограниченим на спинове око заједничког лица. Нека укупна енергија буде дата као:
где су за свако лице околна места i, j, k и l распоређена на следећи начин:
200п|Распоред места око лица
За решетку са N места, партициона функција је:
где се сума врши преко свих могућих конфигурација спина, а w је Болцманова тежина:
Да бисмо поједноставили нотацију, користимо феромагнетну решетку Изинговог типа где сваки спин има вредност +1 или −1, а основно стање је дато са свим спиновима окренутим нагоре (тј. укупна енергија је минимизована када сви спинови на решетки имају вредност +1). Такође претпостављамо да решетка има 4-струку ротациону симетрију (до граничних услова) и да је инваријантна на рефлексију. Ове поједностављујуће претпоставке нису пресудне, а проширење дефиниције на општи случај је релативно једноставно.
Сада размотрите квадрант решетке приказан испод:
400п|Квадрант решетке са m(m+1) лица
Местима спољне границе, означеним троугловима, додељени су њихови спинови основног стања (+1 у овом случају). Места означена отвореним круговима формирају унутрашње границе квадранта; њихови припадајући скупови спинова означени су са {σ1,...,σm} и {σ'1,...,σ'm}, где је σ1 = σ'1. Постоји 2m могућих конфигурација за сваку унутрашњу границу, па дефинишемо матрицу димензија 2m×2m по елементима као:
Матрица A, дакле, представља угаону матрицу преноса за дати квадрант решетке. Пошто су спинови спољне границе фиксни, а сума се врши преко свих унутрашњих спинова, сваки елемент матрице A је функција спинова унутрашње границе. Кронекер делта функција у изразу осигурава да је σ1 = σ'1, па одговарајућим редоследом конфигурација можемо представити A као блок-дијагоналну матрицу:
Угаоне матрице преноса су на једноставан начин повезане са партиционом функцијом. У нашем поједностављеном примеру, конструишемо целу решетку од четири ротиране копије квадранта решетке, где је дозвољено да се скупови спинова унутрашње границе σ, σ', σ" и σ'" разликују:
400п|Цела решетка са 2m(m+1) лица
Партициона функција се тада може записати преко угаоне матрице преноса A као:
Дискусија
Рекурзивна релација
Угаона матрица преноса A2m (дефинисана за квадрант димензија m×m) може се изразити преко мањих угаоних матрица преноса A2m-1 и A2m-2 (дефинисаних за смањене квадранте димензија (m-1)×(m-1) и (m-2)×(m-2) редом). Ова рекурзивна релација омогућава, у принципу, итеративно израчунавање угаоне матрице преноса за било који квадрант решетке коначне величине.
Као и њихови еквиваленти из реда у ред, угаоне матрице преноса могу се факторисати у матрице преноса лица, које одговарају додавању једног лица решетки. За раније наведени квадрант решетке, матрице преноса лица су димензија 2m×2m и дефинисане су по елементима као:
где је 2 ≤ i ≤ m+1. Конкретно, у близини спољне границе имамо:
Дакле, угаона матрица преноса A се факторише као:
где је:
Графички, ово одговара следећем:
400п|Графички приказ факторизације
Такође су нам потребне 2m×2m матрице A* и A**, дефинисане по елементима као:
где су матрице A, чији се елементи појављују на десној страни једначине, димензија 2m-1×2m-1 и 2m-2×2m-2 респективно. Ово се може јасније записати као:
Сада из дефиниција за A, A*, A**, Ui и Fj имамо:
што даје рекурзивну релацију за A2m преко A2m-1 и A2m-2.
Дијагонални облик
Приликом коришћења угаоних матрица преноса за извршавање прорачуна, аналитички и нумерички је практичније радити са њиховим дијагоналним облицима. Да би се ово олакшало, рекурзивна релација се може преписати директно преко дијагоналних облика и матрица сопствених вектора за A, A* и A**.
Подсећајући се да је решетка у нашем примеру инваријантна на рефлексију, у смислу да:
видимо да је A симетрична матрица (тј. може се дијагонализовати помоћу ортогоналне матрице). Зато пишемо:
где је Ad дијагонална матрица (нормализована тако да њен нумерички највећи члан износи 1), αm је највећа сопствена вредност матрице A, и важи PTP = I. Слично за A* и A** имамо:
где су Ad*, Ad**, P* и P** дефинисани на аналоган начин као A* и A**, тј. преко мањих (нормализованих) дијагоналних облика и (ортогоналних) матрица сопствених вектора за A2m-1 и A2m-2.
Заменом ових дијагонализација у рекурзивну релацију, добијамо:
где је:
Матрица At је такође симетрична и може се израчунати ако су познати Ad*, Ad** и R*; дијагонализацијом матрице At затим се добија њен нормализован дијагонални облик Ad, њена највећа сопствена вредност κ и њена ортогонална матрица сопствених вектора R.
Примене
Очекивана вредност спина
Угаоне матрице преноса (или њихови дијагонални облици) могу се користити за израчунавање величина као што је очекивана вредност спина на одређеном месту дубоко унутар решетке. За претходно дату пуну решетку, очекивана вредност спина на централном месту дата је као:
Са конфигурацијама поређаним тако да је A блок-дијагонална матрица као и раније, можемо дефинисати 2m×2m дијагоналну матрицу:
тако да је:
Партициона функција по месту
Још једна важна величина за моделе решетке је партициона функција по месту, процењена у термодинамичком лимиту и записана као:
У нашем примеру, ово се своди на:
пошто је $\textrm{tr}A_{d}^{4}$ конвергентна сума када m → ∞, а Ad постаје бесконачно-димензионална. Поред тога, број лица 2m(m+1) се приближава броју места N у термодинамичком лимиту, па имамо:
што је у складу са ранијом једначином која даје κ као највећу сопствену вредност за At. Другим речима, партициона функција по месту дата је тачно дијагонализованом рекурзивном релацијом за угаоне матрице преноса у термодинамичком лимиту; ово омогућава да се κ апроксимира кроз итеративни процес израчунавања Ad за велику решетку.
Међутим, матрице које су укључене експоненцијално расту у величини, те у стварним нумеричким прорачунима морају бити скраћене у сваком кораку. Један начин да се то уради јесте задржавање n највећих сопствених вредности у сваком кораку, за неко фиксно n. У већини случајева, низ апроксимација добијен узимањем n = 1,2,3,... конвергира брзо, и то ка тачној вредности (за тачно решив модел).
Види још
Метод матрице преноса
Напомене
Референце
Литература
Категорија:Модели решетке Категорија:Матрице Категорија:Статистичка механика