У математиці, зокрема теорії функцій багатьох комплексних змінних, аналітичним поліедром називається підмножина комплексного простору , яку можна розглядати як узагальнення многогранників у дійсних просторах.
Аналітичні поліедри є областями голоморфності і є важливими у вивченні загальних областей голоморфності.
Означення
Нехай є областю (тобто зв’язаною відкритою підмножиною) у просторі , а — скінченною кількістю функцій, голоморфних на .
Якщо множина
є відносно компактною у , то називається аналітичним поліедром.
Якщо вище є многочленами, то ця множина називається поліноміальним поліедром.
Властивості Кожен аналітичний поліедр є областю голоморфності і, таким чином, є псевдоопуклою множиною. Якщо точка є граничною точкою для аналітичного поліедра , то для деякого k із означення. Тоді функція є голоморфною на P, але виродженою в точці . Зважаючи на довільність вибору, звідси випливає, що для кожної граничної точки існує функція, що є голоморфною на P, але виродженою в точці. Тому за означенням P є областю голоморфності. Аналітичний поліедр P є областю Бергмана. Нехай є областю голоморфності у просторі і — відносно компактна підмножина у . Якщо є голоморфно опуклою оболонкою множини і є відкритою множиною, що містить як відносно компактну підмножину і сама є відносно компактною підмножиною у , то існує аналітичний поліедр P , для якого При цьому є відносно компактною підмножиною у P і P є відносно компактною у . Якщо точка є граничною точкою для , то існує голоморфна на функція для якої і для всіх Також можна обрати окіл точки для якого для всіх Але границя множини є компактною тому існує скінченна послідовність точок, околи яких покривають цю границю. Тоді аналітичний поліедр визначений як задовольняє умови твердження. Нехай є областю голоморфності у просторі . Тоді існує зростаюча послідовність аналітичних поліедрів , така що є відносно компактною підмножиною у і Для можна вибрати зростаючу послідовність відкритих підмножин , така що є відносно компактною підмножиною у і Якщо розглядати голоморфно опуклі оболонки то їх об'єднання теж є рівним . Окрім того, із того, що є областю голоморфності, кожен є компактною підмножиною і міститься у деякій множині , де . Тому можна обрати таку підпослідовність , що і всі включення є відносно компактними. Згідно з попередньою властивістю в цю послідовність між і можна також включити аналітичний поліедр і всі включення будуть відносно компактними. Послідовність задовольняє умови твердження. Границя аналітичного многогранника міститься в об'єднанні множини гіперповерхонь
Аналітичний поліедр є «поліедром Вейля», або областю Вейля, якщо перетин будь-якої із зазначених вище гіперповерхонь має розмірність не більше, ніж .
Див. також Область голоморфності
Література . (also available as ). . . . . .