Многочлен від матриці — многочлен, в якому квадратна матриця є його змінною.
Якщо задано многочлен скалярної змінної :
то підставивши замість скалярної змінної матрицю отримаємо:
де — одинична матриця.
Властивості Якщо матриці і — подібні матриці (), то і теж подібні матриці.
Анулюючий та мінімальний многочлени матриці Многочлен p називається анулюючим многочленом матриці , якщо є нульовою матрицею. Нормований многочлен називається мінімальним многочленом матриці , якщо є її анулюючим многочленом мінімального степеня. Всі анулюючі многочлени матриці мають дільником мінімальний многочлен матриці . Мінімальний многочлен матриці порядку має степінь . Мінімальний многочлен степеня матриці , дозволяє виразити через многочлени матриці степенів .
Теорема Гамільтона — Келі
Теорема Гамільтона — Келі: характеристичний многочлен матриці є її анулюючим многочленом.
Функція від матриці Багато аналітичних функцій означаються для матричного аргумента з використанням їхнього ряду Тейлора, на основі наступної властивості.
Для заданих многочленів та , рівність досягається тоді й лише тоді, якщо
де позначає -ту похідну та є власними значеннями з відповідними кратностями (кратність власного значення рівна його блоку Жордана).
Див. також Матриця многочленів Матрична функція
Джерела