Квадратні матриці називаються подібними, якщо існує невироджена матриця (називається матрицею переходу), що виконується :
Відношення подібності матриць є відношенням еквівалентності.
Критерієм подібності двох матриць є збіг усіх їх власних значень.
Властивості У подібних матриць багато характеристик збігаються, а саме: визначник матриці; ранг матриці; слід матриці; характеристичний многочлен ; мінімальний многочлен власні значення (хоча, власні вектори можуть бути різними); отже, якщо квадратна матриця розміру n, подібна до деякої діагональної матриці, то вона має n лінійно незалежних власних векторів.
Канонічна форма лінійного перетворення Подібні матриці описують одне і теж лінійне перетворення простору в різних базисах. Перехід від одного базиса до іншого задається матрицею переходу
Щоб спростити задання лінійного перетворення, шукають базис в якому матриця діагональна. Але не всі матриці є подібними до деякої діагональної матриці, хоча комплексні нормальні матриці та дійсні симетричні матриці — подібні.
Спектральна теорема стверджує, що довільна нормальна матриця унітарно-подібна до деякої діагональної матриці.
Існують також складніші канонічні форми матриць, до яких довільна матриця може бути приведена перетворенням подібності: Жорданова нормальна форма Фробеніусова нормальна форма
Див. також Теорія матриць Конгруентні матриці
Джерела