Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).
Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо елементи матриці , її слід дорівнює:
В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: (трейс, від — слід), і (шпур, від — слід).
Властивості
Лінійність
Циклічність ,
,
де T означає операцію транспонування.
Слід подібних матриць однаковий
Якщо добуток Кронекера матриць A та B, то
Слід матриці дорівнює сумі її власних значень.
Внутрішній добуток Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність
яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли . Присвоєння
дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.
Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.
Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність
Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.
Див. також Теорія матриць Визначник матриці Ранг матриці
Джерела