Трипелюсткова троянда (також правильний трилисник, або трифолій) — плоска алгебрична крива четвертого порядку, троянда з трьома пелюстками.
Крива вивчалася Лоншамом в 1885 р. та А.Брокаром в 1887 р. на сайті Mathcurve.com
Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд. Рівняння +РівнянняВ полярній системі координат ; або ; або В декартовій системі координат в неявному виді ;абоВ декартовій стстемі координат в параметричному виді ; Також:; Також: ; Також:Початок координат (полюс) — трикратна вузлова точка; Крива симетрична віносно осі (полярної осі).Початок координат (полюс) — трикратна вузлова точка; Крива симетрична віносно осі (осі ). Метричні характеристики Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді: Довжина дуги троянди: на сайті MathWorld ' де — повний еліптичний інтеграл другого роду.Послідовність в OEIS.
Довжина довільної дуги трипелюсткової троянди, що відповідає параметру t:
де — неповний еліптичний інтеграл другого роду. Площа области, що обмежена трипелюстковою трояндою:
Ця площа дорівнює чверті площі описаного навколо троянди круга.
Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює . Кривина трипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t: . Зокрема, радіус кривини у вершинах пелюсток троянди (параметр в косинус- варіанті кривої) дорівнює: .
Властивості та особливості форми Вся крива розташовується всередині кола радіуса і складається з трьох однакових за формою та розміром пелюсток. Вершини пелюсток є вершинами правильного трикутника. Трипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.Trifolium на сайті people.math.carleton.ca Крива має 3 осі симетрії, що проходять через вершину кожної пелюстки. Зокрема рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:
Центру симетрії не має.
Прямі є дотичними у вузловій точці троянди. Трипелюсткова троянда є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює , радіус твірного (рухомого) кола дорівнює , а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює .
Трипелюсткова троянда є епітрохоїдою при та .
Трипелюсткова троянда є подерою дельтоїди (кривої Штейнера) відносно її центра.
Для дельтоїди , де — кут повороту твірного (рухомого) кола; — радіус твірного (рухомого) кола. рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:
або
Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в дельтоїду. Вершини троянди збігаються з вершинами дельтоїди. Кінематичне та механічне утворення трипелюсткової троянди Нехай два рівних відрізка та довжиною обертаються навколо точок та зі швидкостями, відношення яких дорівнює . Тоді траєкторією точки буде трипелюсткова троянда. Нехай два радіуси та деякого кола обертаються навколо точки зі швидкостями, відношення яких дорівнює . Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки на є трипелюсткова троянда.
Деякі узагальнення кривої Трилисник Трипелюсткова троянда є окремим випадком сімейства кривих, що є подерами дельтоїди відносно точок, що знаходяться всередині дельтоїди — трипелюсткові криві, що мають рівняння в декартовій системі координат: на сайті Mathcurve.com
Тут: — центр дельтоїди; — полюс подери.
Тобто дельтоїда має рівняння
Якщо збігається з , отримаємо трипелюсткову троянду.
Див. також Троянда (плоска крива) Чотирипелюсткова троянда
Примітки
Література
Посилання
Ferréol Robert, Regular trifolium, на сайті MATHCURVE.COM, 2017 MacTutor History of Mathematics Archive. «Trifolium» Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com. Аплет для створення троянд з параметром k