Формула Плюккера — названа на честь Юліуса Плюккера — це одна з низки формул, розроблених Плюккером у 1830-х роках, які пов’язують певні числові інваріанти алгебричних кривих з відповідними інваріантами їхніх дуальних кривих. Інваріант, що називається родом і є спільним як для кривої, так і для її дуальної, пов’язаний з іншими інваріантами подібними формулами. Ці формули, а також те, що кожен з інваріантів повинен бути додатним цілим числом, накладають досить суворі обмеження на можливі значення.
Інваріанти Плюккера та основні рівняння Крива в цьому контексті визначається невиродженим алгебричним рівнянням у комплексній проєктивній площині. Прямі на цій площині відповідають точкам у дуальній проєктивній площині, а прямі, дотичні до даної алгебричної кривої C, відповідають точкам алгебричної кривої C*, яка називається дуальною кривою. У відповідності між проєктивною площиною та її дуальною, точки на C відповідають дотичним до C*, тому дуальна до C* крива збігається з C.
Перші два інваріанти, що входять до формул Плюккера, — це степінь d кривої C та степінь d*, який називається класом кривої C. Геометрично, d — це кількість разів, коли пряма перетинає C (з урахуванням кратностей). Аналогічно, d* — це кількість дотичних до C, що проходять через дану точку площини; наприклад, конічний перетин має степінь і клас, рівні 2. Якщо C не має особливих точок, перше рівняння Плюккера має вигляд
але для кривих з сингулярностями воно повинно зкориговуватись.
Для кривої C, нехай δ — це кількість звичайних подвійних точок (тобто таких, що мають різні дотичні, — їх також називають вузлами або ізольованими точками), а κ — кількість каспів (тобто точок з єдиною дотичною). Якщо C має особливості вищого порядку, то вони рахуються як кратні подвійні точки відповідно до характеру особливості. Наприклад, звичайна потрійна точка рахується як три подвійні точки. Враховуються також комплексні точки й точки на нескінченності. Скоригована форма першого рівняння Плюккера:
Аналогічно, нехай δ* — кількість звичайних подвійних точок, а κ* — кількість каспів дуальної кривої C*. Тоді друге рівняння Плюккера:
Звичайна подвійна точка дуальної кривої відповідає бідотичній (дотична, спільна для двох точок кривої), а касп дуальної кривої відповідає точці перегину.
Розглянемо приклад гладкої кубики:
З попередньої формули маємо
тобто дев’ять точок перегину. Якщо кубика вироджується і має подвійну точку, то шість точок збігаються в особливу, і залишається лише три точки перегину; якщо з’являється вістря (касп) — залишається лише одна.
Перші два рівняння Плюккера мають також дуальні версії:
Ці чотири рівняння не є незалежними, тому будь-які три з них дозволяють вивести четверте. Якщо відомі будь-які три з шести інваріантів d, d*, δ, δ*, κ, κ*, то решту можна обчислити.
Нарешті, рід кривої C (класично — «дефіцит» кривої) визначається як
що відповідає дуальному виразу
і є додатним цілим числом.
Разом є чотири незалежні рівняння для семи невідомих, і будь-які три з інваріантів дозволяють знайти решту.
Несингулярні криві Важливий окремий випадок — коли крива C є несингулярною, тобто δ = κ = 0. Тоді:
Наприклад, несингулярна плоска квартика має рід 3, 28 бідотичних і 24 точки перегину.
Типи кривих Криві класифікуються за своїми інваріантами Плюккера. Формули Плюккера та вимога, щоб усі інваріанти були натуральними числами, сильно обмежують можливі типи кривих даного степеня. Проєктивно еквівалентні криві мають однаковий тип, хоча криві одного типу можуть бути нееквівалентними проєктивно. Криві другого степеня (конічний перетин) мають єдиний тип: d = d* = 2, δ = δ* = κ = κ* = g = 0.
Для кривих третього степеня можливі три типи:)
Type d d* δ δ* κ κ* g (i) 3 6 0 0 0 9 1 (ii) 3 4 1 0 0 3 0 (iii) 3 3 0 0 1 1 0 Криві типів (ii) та (iii) — раціональні кубики, з відповідно вузловою точкою та каспом. Криві типу (i) — це несингулярні кубики (еліптичні криві).
Для кривих четвертого степеня існує десять можливих типів:Hilton, p. 264
Type d d* δ δ* κ κ* g (i) 4 12 0 28 0 24 3 (ii) 4 10 1 16 0 18 2 (iii) 4 9 0 10 1 16 2 (iv) 4 8 2 8 0 12 1 (v) 4 7 1 4 1 10 1 (vi) 4 6 0 1 2 8 1 (vii) 4 6 3 4 0 6 0 (viii) 4 5 2 2 1 4 0 (ix) 4 4 1 1 2 2 0 (x) 4 3 0 1 3 0 0
Примітки
Джерела
Салмон, Джордж (1879) [(https://archive.org/details/treatiseonhigher00salmuoft) A Treatise on the Higher Plane Curves], стор. 64 і далі.