У теорії ймовірностей та статистиці зако́н Ци́пфа — Мандельбро́та — це дискретний розподіл імовірностей. Також відомий як закон Парето — Ципфа, він є степеневим розподілом на ранжованих даних, названим на честь лінгвіста Джорджа Кінгслі Ципфа, який запропонував простіший розподіл, названий законом Ципфа, та математика Бенуа Мандельброта, який згодом його узагальнив.
Визначення Функція маси ймовірностей задається формулою:
де визначається як:
що можна розглядати як узагальнення гармонічного числа. У цій формулі — це ранг даних, а і — параметри розподілу.
У границі, коли прямує до нескінченності, ця сума стає дзета-функцією Гурвіца . Для скінченного і закон Ципфа — Мандельброта перетворюється на Закон Ципфа. Для нескінченного і він стає дзета-розподілом.
Застосування Розподіл слів, відсортованих за частотою їхнього використання у випадковому текстовому корпусі, апроксимується степеневим розподілом, відомим як закон Ципфа.
Якщо побудувати графік залежності рангу частоти слів, що містяться в текстовому корпусі середнього розміру, від кількості появ або фактичних частот, отримаємо степеневий розподіл з показником, близьким до одиниці (див. Powers, 1998, та Gelbukh & Sidorov, 2001). Закон Ципфа неявно передбачає фіксований розмір словника, але гармонічний ряд при не збігається, тоді як узагальнення Ципфа — Мандельброта при — збігається. Крім того, існують докази того, що закритий клас службових слів, які визначають мову, підпорядковується розподілу Ципфа — Мандельброта з іншими параметрами, ніж відкриті класи знаменних слів, які варіюються залежно від теми, галузі та стилю (регістру).
В екологічних польових дослідженнях розподіл відносної рясності (тобто графік залежності кількості спостережуваних видів від їхньої кількості чи представленості) часто відповідає закону Ципфа — Мандельброта.
У музиці багато метрик вимірювання «приємної» музики також підпорядковуються розподілу Ципфа — Мандельброта.
Див. також
Закон Ципфа Дзета-розподіл
Примітки